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5.()已知函數(shù)f(x)=ax+ (a>1).
(1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.
參考答案
難點(diǎn)磁場
(1)解:依題意,對一切x∈R,有f(x)=f(-x),即+aex.整理,得(a-)
(ex-)=0.因此,有a-=0,即a2=1,又a>0,∴a=1
(2)證法一:設(shè)0<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=
由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1-e<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)
證法二:由f(x)=ex+e-x,得f′(x)=ex-e-x=e-x.(e2x-1).當(dāng)x∈(0,+∞)時,e-x>0,e2x-1>0.
此時f′(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).
殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練
一、1.解析:f(-x)= =-f(x),故f(x)為奇函數(shù).
答案:C
2.解析:f(-x)=-f(x),f(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.
答案:C
二、3.解析:令t=|x+1|,則t在(-∞,-1上遞減,又y=f(x)在R上單調(diào)遞增,∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1上遞減.
答案:(-∞,-1
4.解析:∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x,
∴b=-a(x1+x2),又f(x)在[x2,+∞單調(diào)遞增,故a>0.又知0<x1<x,得x1+x2>0,
∴b=-a(x1+x2)<0.
答案:(-∞,0)
三、5.證明:(1)設(shè)-1<x1<x2<+∞,則x2-x1>0, >1且>0,
∴>0,又x1+1>0,x2+1>0
∴>0,
于是f(x2)-f(x1)=+ >0
∴f(x)在(-1,+∞)上為遞增函數(shù).
(2)證法一:設(shè)存在x0<0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,則且由0<<1得0<-<1,即<x0<2與x0<0矛盾,故f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.
證法二:設(shè)存在x0<0(x0≠-1)使f(x0)=0,若-1<x0<0,則<-2,<1,∴f(x0)<-1與f(x0)=0矛盾,若x0<-1,則>0, >0,∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.
6.證明:∵x≠0,∴f(x)=,
設(shè)1<x1<x2<+∞,則.
∴f(x1)>f(x2),故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).(本題也可用求導(dǎo)方法解決)
7.證明:(1)不妨令x=x1-x2,則f(-x)=f(x2-x1)=
=-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函數(shù).
(2)要證f(x+4a)=f(x),可先計(jì)算f(x+a),f(x+2a).
∵f(x+a)=f[x-(-a)]=.
∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]==f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).
8.(1)證明:設(shè)x1<x2,則x2-x1->-,由題意f(x2-x1-)>0,
∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-)-1=f[(x2-x1)-]>0,
∴f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).
(2)解:f(x)=2x+1.驗(yàn)證過程略.