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例1. 已知等比數(shù)列{
}的各項為正數(shù), 數(shù)列{
}滿足
(
>0且
1),
=18, 
=12.
(1) 求數(shù)列{}的通項公式;
(2) 試判斷是否存在正整數(shù)
,使得當
>時, >1恒成立,并說明理由; (0<<1)
(3) 當>12時,
求證:
+ 
+
+...+
<
.
解：(1)∵ 數(shù)列{}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，∴ 當
2時，
=
-
=
為常數(shù)，
∴ 數(shù)列{}為等差數(shù)列。
∵ =18, =12， ∴=-2+24
.
(2) 由(1)知, =-n+12.
① 若0
1,則當12時,
1;當=12時, =1;當
12時,
1,故當01時,存在=12,當12時,
1.
② 若1,則當12時,
1;當=12時, =1;當12時,
1,故當01時,不存在,當時, 1.
(3) 方法(一)
當
14時
+ 
+
+...+
=
]
<
=
[
+
]
=
[
]
[
]=
.
=
=
=
=
< 
當=13時,
+ 
+
+...+
=
<
=
=
=
綜上所述, 當
13時, 
+ +
+...+<
.
方法(二)
設
=+ ++...+，則
= 
+
+
+...+
∴-=
+
-=
<
=
<0 .
∴< ,
即{ }單調(diào)遞減,
∴
<
.
例2. 已知數(shù)列
滿足: 
.
(1)
證明: 數(shù)列
成等比數(shù)列;
(2)
證明: 
.
(1) 證明: ∵ 
,
∴ 
, 
∵ 
∴ 數(shù)列 是以2為首項,公比為2的等比數(shù)列.
(2) 證明方法①：
由(1)可知, 
∴ 
,
解得: 
.
證明方法②：由(1)可知, 
< 
< 
<
∴ 
=
=
<
直線與平面平行的證明: 一般用下列兩個基本圖形在已知平面內(nèi)給出一條直線與已知直線平行, 或用面面平行的方法證明.
證明直線與平面平行,如果利用線面平行的判定定理來證明,就必須在已知平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行,這條直線一般可以過已知直線作一個與已知平面相交的平面而得到,而這個平面可以經(jīng)過已知直線和與已知直線、已知平面都相交的另一條直線而得到(如圖(1)),也可以經(jīng)過過已知直線上兩點且與已知平面相交的兩條平行直線而得到(如圖(2)). (輔助線的添加問題)
例3．四棱錐
的底面是平行四邊形, 點在棱SA上,點
在BD上,且
, 求證: 
∥平面
.
例4．正三棱柱
中，E為AC的中點.求證: 
‖平面
.
分析: 先利用圖形(1)在平面內(nèi)給出與直線平行的直線.
本例中與直線、平面都相交的直線有
、
、
、
.
① 與確定平面
，
顯然點
是平面與平面的一個公共點,
延長
、
相交于點F,連結(jié)BF，則直線BF就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，只要證明直線‖直線
,就可得‖平面.
② 與確定平面
,
顯然點E是平面與平面的一個公共點,
連結(jié)
,設直線與直線
的交點為G, 連結(jié)EG,則直線EG就是平面與平面的交線，只要證明直線‖直線
,就可得‖平面.
③ 與確定平面，顯然點是平面與平面的一個公共點,因此,這時的證明方法與①相同.
④ 與確定平面
,
顯然點
是平面與平面的一個公共點,延長
到
,使
,連結(jié)
,則
就是平面與平面的交線，只要證明直線‖直線,就可得‖平面.
下面再利用圖形(2)在平面內(nèi)給出與直線平行的直線.
① 直線AC是過點A且與平面相交于點E的一條直線,下面我們在給出一條過點
且與AC平行、與平面相交的另一條直線.
在平面
內(nèi)過點作
‖
,過點作
,連結(jié) 
,只要證明就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，且直線‖,就可得‖平面.
② 直線AB是過點A且與平面相交于點B的一條直線,下面我們在給出一條過點且與AB平行、與平面相交的另一條直線.
在平面內(nèi)延長
到T,使
=,連結(jié)
、
,只要證明就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，且直線‖,就可得‖平面.
本例也可以利用面面平行的性質(zhì)證明‖平面.
取的中點F, 連結(jié)AF、B1F，證明平面
‖平面，就可得‖平面.
本例也可以用基底向量法給出證明.
證明: 取
為一組基底.
,
, 
=
,
設
=
, 則=(
)
=
∴ 
∴
, 
,
∴ =-+ ,
∴‖平面.