講講菱形的判定

    菱形，是四邊相等的四邊形，這是菱形的定義，要判斷一個(gè)四邊形是不是菱形，除用定義判斷，還可用其它等價(jià)條件。

    1. 證明四邊形的四條邊相等

    例1  已知：如圖1，C是線段BD上一點(diǎn)，和都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形ABDE各邊的中點(diǎn)。求證：四邊形RFGH是菱形。

    證明：連結(jié)AD、BE

    因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/講講菱形的判定%20專題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image002.gif" >和都是等邊三角形

    所以

    故四邊形RFGH是菱形

    2. 鄰邊相等的平行四邊形一定是菱形

    例2  已知：如圖2，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)。求證：四邊形MENF是菱形。

    證明：因?yàn)镋是BM的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CM的中點(diǎn)

    3. 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

    例3  已知：如圖3，梯形ABCD中，AD//BC，對(duì)角線，M、N為底邊BC的三等分點(diǎn)，且BC=3AD，AM與BD交于點(diǎn)G，AC與DN交于點(diǎn)H。求證：四邊形AGHD是菱形。

    證明：因?yàn)锽C=3AD

    M、N是BC的三等分點(diǎn)

    又1=2

    所以四邊形AGHD是平行四邊形

    又，所以四邊形AGHD是菱形。

    4. 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形

    例4  已知：如圖4，中，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EF//BC交AD于點(diǎn)F。

    求證：四邊形CDEF是菱形。

    證明：連結(jié)CE交AD于點(diǎn)O

    因?yàn)锳C=AE

    所以為等腰三角形

    因?yàn)锳O平分CAE

    所以，且OC=OE

    因?yàn)镋F//CD，

    所以1=2

    所以O(shè)F=OD

    于是CE垂直平分DF

    所以四邊形CDEF是菱形

    總結(jié)以上，得到下表

    練習(xí)：

  1. 求證：順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是菱形。

  2. 求證：順次連結(jié)等腰梯形上、下底的中點(diǎn)和兩對(duì)角線的中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是菱形。

  3. 求證：順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是菱形。

  4. 求證：過矩形各頂點(diǎn)平行于對(duì)角線的垂線圍成的四邊形是菱形。

  5. 在平行四邊形ABCD中，，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)。求證四邊形ANCM是菱形。

  6. 已知：中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE//AC，DF//AB，DE、DF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，求證：四邊形AEDF是菱形。