2009年龍巖市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（理科）試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁. 全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差：                   s=，其中為樣本平均數(shù)；

柱體體積公式：V=Sh ，其中S為底面面積，h為高；

錐體體積公式：V=Sh，其中S為底面面積，h為高；

球的表面積、體積公式：，，其中R為球的半徑.

第I卷（選擇題   共50分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1. 已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)是

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A.                          B.                         C.                             D.

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2. 正項等比數(shù)列中，若，則等于

   A. -16                            B. 10                           C. 16                           D. 256

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3. 已知隨機(jī)變量，若，則等于

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   A. 0.1                                   B. 0.2                          C. 0.3                          Ｄ. 0.4

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4. 已知兩個向量a、b滿足ab =－，| a |=4，a和b的夾角為135°，則| b |為

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A. 12                             B. 3                             C. 6                             D.

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5. 若 ，且, 則實數(shù)的值為

Ａ. 1或3                       Ｂ. -3                          C. 1                             Ｄ. 1或 -3

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6. 實數(shù)、滿足 則=的取值范圍是

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A. [－1,0]                      B. －∞,0]                 C. [－1,+∞                D. [－1,1

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7. 過拋物線的焦點作直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標(biāo)為3，則等于

　 A．10                           B．8                           C．6                           D．4

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8. 一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，得0分的概率為0.5（投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，則的最大值為

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A．                           B．                        C．                       D．

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9. 設(shè)函數(shù) 則函數(shù)的零點個數(shù)為

A.  4個                        B.  3個                      C.  2個                      D.  1個

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10. 如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公方差.設(shè)數(shù)列是首項為2，公方差為2的等方差數(shù)列，若將這種順序的排列作為某種密碼，則這種密碼的個數(shù)為

A.  18個                      B.  256個                   C.  512個                  D.  1024個

第Ⅱ卷（非選擇題    共100分）

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二、填空題：本大題共5小題，每小題４分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

11. 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費（萬元），有如下的統(tǒng)計資料

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使用年限

2

3

4

5

6

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維修費用

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2.2

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3.8

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5.5

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6.5

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7.0

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若由資料可知和呈相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的=，據(jù)此估計，使用年限為10年時的維修費用是           萬元.

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（參考公式：，

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）

 

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12. 已知某算法的流程圖如圖所示，

則輸出的結(jié)果是_______________.

 

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13.  一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖、側(cè)視圖、

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俯視圖均為等腰直角三角形，且直角邊長都為1，則它的

外接球的表面積是 　　　　　　　　　　　　　　.

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14. 設(shè)函數(shù)()，若，

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，則=         .

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15. 已知集合,

有下列命題

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①若　則.

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②若則.

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③若則的圖象關(guān)于原點對稱.

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④若則對于任意不等的實數(shù)，總有成立.

其中所有正確命題的序號是         .

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三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16. （本小題滿分13分）

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已知的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、,且，

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.

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（Ⅰ）求的值；

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（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.

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17.（本小題滿分13分）

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如圖，正方形所在平面與等腰直角三角形所在平面

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互相垂直，，點分別為的中點.

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（Ⅰ）求證：∥平面；

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（Ⅱ）線段上是否存在一點，使與平面

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 所成角的正弦值為？若存在，請求出的

值；若不存在，請說明理由．

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18. （本小題滿分13分）

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某電腦生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)一品牌筆記本電腦的投入成本是4500元/臺. 當(dāng)筆記本電腦銷售價為6000元/臺時，月銷售臺；根據(jù)市場分析的結(jié)果表明，如果筆記本電腦的銷售價提高的百分率為，那么月銷售量減少的百分率為.記銷售價提高的百分率為時，電腦企業(yè)的月利潤是（元）.

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（Ⅰ）寫出月利潤（元）與的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）試確定筆記本電腦的銷售價，使得電腦企業(yè)的月利潤最大.

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19.（本小題滿分13分）

    • 
   
    
    
    
    
    
    Q
    個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點
    構(gòu)成等邊三角形.
    

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    （Ⅰ）求橢圓的方程；
    

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    （Ⅱ）過點(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為.
    

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    （?）求證：直線過軸上一定點，并求出此定點坐標(biāo)；
    

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    （?）求△面積的取值范圍.
    

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    20.（本小題滿分14分）已知函數(shù).
    

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    （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
    

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    （Ⅱ）數(shù)列滿足：，且,記數(shù)列的前n項和為，
    

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    且.
    

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    （?）求數(shù)列的通項公式；并判斷是否仍為數(shù)列中的項？若是，請證明；否則，說明理由.
    

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    （?）設(shè)為首項是,公差的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列中任意不同兩項之和仍為數(shù)列中的項”的充要條件是“存在整數(shù)，使”.
     
    

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    21. 本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
    （1）（本小題滿分7分）選修4－2：矩陣與變換
    

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    若點在矩陣     對應(yīng)變換的作用下得到的點為，求矩陣的逆矩陣．
      （2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
    

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    已知曲線的極坐標(biāo)方程是．以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是參數(shù)），點是曲線上的動點，點是直線上的動點，求||的最小值．
    （3）（本小題滿分7分）選修4－5：不等式選講
    

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    已知實數(shù)滿足且的最大值是7，求的值．
     
     
     
    2009年龍巖市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查
    

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    說明：
           一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則.
           二、對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分.
           三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
           四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.
    一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分50分. 
    1. A        2. C        3. C        4.C         5.D         6.D         7.
B        8.
D        9.
B        10.
C
    二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分20分.
    11.  12.38            12.  5           13.  3        
14.      15.
②③
    三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
    16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識，考
    查學(xué)生的運(yùn)算求解能力. 滿分13分.
    解：（Ⅰ）由，知              
  ………………………（2分）
    又，得， 
            
 ，                  
………（5分）
    故                                  
………（6分）
    （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
            
 
                     
 ………………（9分）
            
，
            
當(dāng)，即時，取得最大值為．   ……（13分）                               

    17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基本知識，考查空間想像能力，運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.
    解：（Ⅰ）證明：如圖，取中點，連結(jié)，；
    ∥，∥，
    又，，
    ，…………（3分）
    四邊形為平行四邊形，
    ∥，
    又平面，平面，
    ∥平面．                       
………………………（6分）
    （Ⅱ）依題意知平面平面，，
    平面，得   
    又，.
    如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系-xyz， 
    ，可得、、，
    .
    設(shè)平面的一個法向量為， 
    由   得 
    解得，．           
………………（9分）
    設(shè)線段上存在一點，其中，則，
    ，
    依題意：，即，
    可得，解得（舍去）．   
     所以上存在一點．   …………（13分）
    18．本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基本知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題與解決問題的能力，
    考查應(yīng)用意識. 滿分13分.
      解：（Ⅰ）依題意，銷售價提高后為6000（1+）元/臺，月銷售量為臺…（2分）
    則              
……………………（4分）
    即．       ……………………（6分）
    （Ⅱ）令，得，
    解得舍去）．                     
……………………（9分）
    當(dāng) 當(dāng)當(dāng)時，取得最大值．
    此時銷售價為元．
    答：筆記本電腦的銷售價為9000元時，電腦企業(yè)的月利潤最大．…………………（13分）
    19．本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識，考查運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 滿分13分
    解：（Ⅰ）因為橢圓的一個焦點是（1，0），所以半焦距=1.
    因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.
    所以，解得
    所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.  …（4分）                

    （Ⅱ）（i）設(shè)直線：與聯(lián)立并消去得：.
    記，，
    ，
    .  ……………（5分）
    由A關(guān)于軸的對稱點為，得，根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點為（，0），
    得，即.所以
    即定點（1 ， 0）.               
……（8分）
    （ii）由（i）中判別式，解得.     可知直線過定點 (1,0).
    所以    　　　  
……………（10分）
    得,  令
    記，得，當(dāng)時，.
    在上為增函數(shù). 所以 ，
    得.故△OA1B的面積取值范圍是.        
  …（13分）
    20. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列、不等式等基本知識，考查運(yùn)用合理的推理證明解決問題的方法，考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 滿分14分.
    解：（Ⅰ）因為，
    所以.          
………………（1分）
    （i）當(dāng)時，.
    （ii）當(dāng)時，由，得到，知在上.
    （iii）當(dāng)時，由，得到，知在上.
    綜上，當(dāng)時，遞增區(qū)間為；當(dāng)時, 遞增區(qū)間為.                  
…………（4分）
    （Ⅱ）（i）因為，所以，即，
    ，即.     ……………………………………（6分）
    因為，
    當(dāng)時，，
    當(dāng)時，，
    所以.                 
…………………………（8分）
    又因為，
    所以令，則
    得到與矛盾，所以不在數(shù)列中.    ………（9分）
    （ii）充分性：若存在整數(shù)，使.
    設(shè)為數(shù)列中不同的兩項，則.
    又且,所以.
    即是數(shù)列的第項.          
……………………（10分）
    必要性：若數(shù)列中任意不同兩項之和仍為數(shù)列中的項，
    則，，（，為互不相同的正整數(shù)）
    則，令，
    得到 ，
    所以，令整數(shù)，所以.　……（11 分）
    下證整數(shù).若設(shè)整數(shù)則.令，
    由題設(shè)取使 
    即，所以
    即與相矛盾，所以.
    綜上, 數(shù)列中任意不同兩項之和仍為數(shù)列中的項的充要條件是存在整數(shù)，使.                         
……………………（14分）
    21. （1）本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識，考查運(yùn)算求解能力， 滿分7分.
    解： ，即 ，
    所以  得             
…………（4分）
         即M=   ，由得 .
    或 =1 ,  .         
…………（7分）
    （2）本題主要考查圓極坐標(biāo)方程和直線參數(shù)方程等基本知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.
    解：曲線的極坐標(biāo)方程可化為,
    其直角坐標(biāo)方程為，即.      ………（2分）
    直線的方程為.
    所以，圓心到直線的距離         
………（5分）
    所以，的最小值為.                
…………（７分）
    （3）本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.
    解：由柯西不等式：
    . …………（3分）
    因為
    所以，即.  
    因為的最大值是7,所以，得，
    當(dāng)時，取最大值，
    所以.                        
……………………（7分）
     
     
    
				
	
    
		
    


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