四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（十二）

§12. 極 限  知識(shí)要點(diǎn)

1. ⑴第一數(shù)學(xué)歸納法：①證明當(dāng)取第一個(gè)時(shí)結(jié)論正確；②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.

⑵第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

①當(dāng)（）時(shí)，成立；

②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，成立，推得時(shí)，也成立.

那么，根據(jù)①②對(duì)一切自然數(shù)時(shí)，都成立.

2. ⑴數(shù)列極限的表示方法：

①

②當(dāng)時(shí)，.

⑵幾個(gè)常用極限：

①（為常數(shù)）

②

③對(duì)于任意實(shí)常數(shù)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，若a = 1，則；若，則不存在

當(dāng)時(shí)，不存在

⑶數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：

如果，那么

①

②

③

特別地，如果C是常數(shù)，那么

.

⑷數(shù)列極限的應(yīng)用：

求無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)和，特別地，當(dāng)時(shí)，無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為.

（化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)方法同上式）

注：并不是每一個(gè)無(wú)窮數(shù)列都有極限.

3. 函數(shù)極限；

⑴當(dāng)自變量無(wú)限趨近于常數(shù)（但不等于）時(shí)，如果函數(shù)無(wú)限趨進(jìn)于一個(gè)常數(shù)，就是說(shuō)當(dāng)趨近于時(shí)，函數(shù)的極限為.記作或當(dāng)時(shí)，.

注：當(dāng)時(shí)，是否存在極限與在處是否定義無(wú)關(guān)，因?yàn)?sub>并不要求.（當(dāng)然，在是否有定義也與在處是否存在極限無(wú)關(guān).函數(shù)在有定義是存在的既不充分又不必要條件.）

如在處無(wú)定義，但存在，因?yàn)樵?sub>處左右極限均等于零.

⑵函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：

如果，那么

①

②

③

特別地，如果C是常數(shù)，那么

.

（）

注：①各個(gè)函數(shù)的極限都應(yīng)存在.

②四則運(yùn)算法則可推廣到任意有限個(gè)極限的情況，但不能推廣到無(wú)限個(gè)情況.

⑶幾個(gè)常用極限：

①

②（0＜＜1）；（＞1）

③

④，（）

4. 函數(shù)的連續(xù)性：

⑴如果函數(shù)f（x），g（x）在某一點(diǎn)連續(xù)，那么函數(shù)在點(diǎn)處都連續(xù).

⑵函數(shù)f（x）在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：

①函數(shù)f（x）在點(diǎn)處有定義；②存在；③函數(shù)f（x）在點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即.

⑶函數(shù)f（x）在點(diǎn)處不連續(xù)（間斷）的判定：

如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)處有下列三種情況之一時(shí)，則稱為函數(shù)f（x）的不連續(xù)點(diǎn).

①f（x）在點(diǎn)處沒(méi)有定義，即不存在；②不存在；③存在，但.

5. 零點(diǎn)定理，介值定理，夾逼定理：

⑴零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且.那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)（＜＜）使.

⑵介值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同函數(shù)值，，那么對(duì)于之間任意的一個(gè)數(shù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得（＜＜）.

⑶夾逼定理：設(shè)當(dāng)時(shí)，有≤≤，且，則必有

注：：表示以為的極限，則就無(wú)限趨近于零.（為最小整數(shù)）

6. 幾個(gè)常用極限：

①

②

③為常數(shù)）

④

⑤為常數(shù)）