保密★啟用前【考試時間：2007年11月1日下午3：00―5；00】
四川省綿陽市高中2007級第一次診斷性考試
數(shù) 學（理工類）
本試卷分試題卷和答題卷兩部分。第1卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁。全卷共150分。第1卷答案涂在答題卡上，第Ⅱ卷答案寫在答題卷上。
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用4B或5B鉛筆填寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用4B或5B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答萎，不能答在試卷上。
3．參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；
如果事件A、B相互獨立，那么 P（A?B）＝P（A）? P（B）；
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率：Pn（k）＝?Pk?（1－P）n－k
正棱錐、圓錐的側(cè)面積公式：
錐側(cè)＝
球的體積公式V＝πR3其中R表示球 的半徑
對數(shù)換底公式:
0<a
,m ≠ 1,N > 0
一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把它選出來填涂在答題卡上。
1．右圖中陰影部分表示的集合是
A．
B．
C．（） D．（
）
2．用反證法證明命題：若P則q ，其第一步是反設命題的結論不成立，這個正確的反設是
A．若P則非q B．若非P則q C．非P D．非q
3．已知數(shù)列｛an｝的通項公式為
則｛an｝的最大項是
A．a(chǎn)1 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)3 D．a(chǎn)4
4．右圖是一個樣本容量為50的樣本頻率分布直方圖，據(jù)此估計數(shù)據(jù)落在[15.5，24.5]的概率約為
A．36%
B．46%
C．56%
D．66%
5．在點 x = a 處連續(xù)的是
6．設a> 0，a≠ 1，若y = ax的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點
，則a=
A．16 B．2 C．
D．4
7．若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點 A 、（
） B、（1，0）， C、（2，-1），則不能作為函數(shù)f（x）的解析式的是
A．
B．
C．
D．
8．計算：
A．不存在 B．8 C．-8 D．18
9．函數(shù)
的圖象大致是
10．對數(shù)函數(shù)
和
的圖象如圖所示，則a 、b的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
11．已知復數(shù) z ，條件P：“
”是條件q：“ 
”的
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
12．函數(shù)
及其反函數(shù)的圖象與函數(shù)
的圖象交于A、B兩點，若
，則實數(shù)a的值等于（精確到0.1 ，參考數(shù)據(jù) lg2.414 ≈
0.3827 lg 8.392 ≈ 0.9293 lg 8.41 ≈ 0.9247 ）
A．3.8 B．4.8 C．8.4 D．9.2
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡相應位置上。
13．寫出一個解集為｛xㄏ- 6＜ x ＜ 1 ｝且形如ㄏax + bㄏ＜ c 的絕對值不等式 。
14．化簡：
_____________
15．某路段檢查站監(jiān)控錄象顯示，在某時段內(nèi)，有1000輛汽車通過該站，現(xiàn)在隨機抽取其中的200輛汽車進行車速分析，分析的結果表示為如下的頻率分布直方圖，則估計在這一時段內(nèi)通過該站的汽車中車速度不小于
取整數(shù)）。
16．若存在正實數(shù)x ，使不等式
恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是 。
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
解不等式：
18．（本小題滿分12分）
設
，用數(shù)學歸納法證明：
（
且
）
19．（本小題滿分12分）商品營銷中，商品的質(zhì)量與它的利潤直接相關。某電器商店發(fā)現(xiàn)某種型號的函數(shù)計數(shù)器的周銷售量與每臺的利潤間的一次函數(shù)關系如圖所示。問：周銷售量為多少時，可使商店獲得的利潤最大？（結果精確到 0.1）。
20．（本小題滿分12分）
有甲、乙兩種棉花，從中各抽取等量的樣品進行檢驗，結果如下（其中ξ表示纖維長度，單位：nm ）
ξ甲
28
29
30
31
32
P
0.14
a
0.36
0.18
0.14
ξ乙
28
29
30
31
32
P
0.12
0.2
b
0.2
0.12
（1） 求a、b的值；
（2） 計算ξ甲 、 ξ乙 的期望與方差，并說明甲、乙兩種棉花的質(zhì)量情況。
21．（本小題滿分12分）
在△ABC中，∠C = 90o ,BC
= 1.以A為圓心，AC為半徑畫弧交AB于D，在由弧CD與直線段BD、BC所圍成的范圍內(nèi)作內(nèi)接正方形EFGH（如圖）。設AC = x，EF = y ，
（1）求y與x的函數(shù)關系式；
（2）正方形EFGH的面積是否有最大值？試證明你的結論。
22．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
（1）若干
，求證：
（2）是否存在實數(shù)
，是方程
有四個不同的實根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。
一、選擇題：本答題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把它選出來填涂在答題卡上。
1．A
2．D 對“若
則
”的否定已經(jīng)不是“四種命題”中的任何一種，而是表示“合取”命題；且非，即反設命題的結論不成立為非，選D。
3．B 因為
，所以，當
時，分母
最小，從而
最大為2，選B。
4．C
5．B 設等差數(shù)列
的前三項為
（其中
），則
于是它的首項是2，選B
6．D 因為
的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點
，所以函數(shù)的圖像經(jīng)過點
，于是
，解得
，選D
7．D 在直角坐標系中較準確地作出點A、B、C，并結合代值驗證，可知A、C兩點的坐標不滿足選擇支D的解析式，選D。
8．C 因為分母的極限為零，不能直接使用商的極限運算法則，但這里分子的極限也是零，分子、分母極限之所以為零，就式因為分子、分母都包含有
的因子，先把零因式消去，然后再求極限，得
，選C。
9．A 函數(shù)的定義域為（0，+
），當
≥1時，
≥0，有
；當
時，
，有
，選A。
10．B 根據(jù)圖像可知，當
時，函數(shù)圖像從左到右是上升的，表明對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，∴a、b均大于1，排除C、D。于是取＝2，得
，有
，選B.
11．A 由
可得
和
。容易驗證
，即
。而滿足條件：“
”的附屬
不一定滿足條件：“”，比如取
，即
。選A.
12．C 設
，則B
,有
，∴
。由于A、B兩點在函數(shù)
的圖象上，則
＝1，∴
，而點A又在函數(shù)
的圖像上，∴
，得
，有
，于是
，選C。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。
13．
或
等。
14．原式＝
。
15．由圖知車速小于
16．原不等式等價于
，令
，則
，當時，
，當
時，
。故
∴
，∴
。
三、解答題：本答題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。
17．（本題滿分12分）
解法一 原不等式等價于
或
………………12分
解法二 原不等式等價于
或
或
說明 本題是教材第一冊上
頁習題1.5第5題：解不等式
的改變，這是關于的二次雙連不等式，若轉(zhuǎn)化為兩個二次不等式組成的不等式組來解時，只要善于正確因式分解，數(shù)軸標根，也能快速解決。
18．（本題滿分12分）
（1）當時，等式左邊＝
，右邊＝
，所以對n＝2時，等式成立。………………2分
（2）假設當
時，等式成立，即
，則對n＝k+1時，
，而
）＝
＝
＝
，表明
時，等式成立。
………………10分
由（1），（2）可知對一切
的自然數(shù)等式都成立。
…………12分
19．（本題滿分12分）
設表示每臺的利潤，y表示周銷售量，則
經(jīng)過了點（20，0），（0，35），
∴
解得
………………4分
即
或
，其中
因此，商店一周中所獲利潤總額為：
每臺利潤×銷售量＝
＝
………8分
由于y是正整數(shù)，所以當周銷售量為y＝17或18時，利潤總額最大，為
元，此時
元或10.3元。
………………12分
20．（本小題滿分12分）
（1）由
得a＝0.18，
得b＝0.36
………………4分
（2）甲種棉花纖維長度的期望為
甲 ＝28×0.14+29×0.18+30×0.36+31×0.18+32×0.14＝30
乙 ＝28×0.12+29×0.2+30×0.36+31×0.2+32×0.14＝30
………8分
甲＝
乙＝
由于甲>乙，即乙種棉花纖維長度的方差小些，所以乙種棉花的質(zhì)量較好些（纖維長度比較均勻）………………12分
說明：本題是選修教材17頁8題的改編。
21．（本題滿分12分）
（1）延長FE與AB交于點P，則
∵EP//BC，∴
∽
，
∴
，即
，∴
，
…………2分
在直角三角形AEP中，
，
，
，
由勾股定理，得
（*）
即
。
………………6分
∵
∴（*）式成立的充要條件是
，
所以y與x的函數(shù)關系式為
， ……8分
（2）因為
，等號當且僅當
，即
時取得，
………10分
所以正方形
的面積
當
時取得最大值
………12分
若由
得
,
所以
即
，
等式右端分子有理化，得
∴
∵
∴
，
整理，得
與的函數(shù)關系式為
（
）
22．（本題滿分14分）
（1）令
，
則
……3分
因，∴
，故函數(shù)
在
上是增函數(shù)。
又在
處連續(xù)，所以，函數(shù)在
上是增函數(shù)。
∴時，
即
………………6分
（2）令
……8分
則
令
，則
，-1，1。
…10分
當x變化時，
、
的變化關系如下表：
（―1，0）
0
（0，1）
1
―
0
+
0
―
0
+
極小值
極大值0
極小值
據(jù)此可畫出的簡圖如下，…………12分
故存在
，使原方程有4各不同實根。………………14分
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