鄂南高中 黃岡中學(xué) 黃石二中 華師一附中孝感高中 襄樊五中 荊州中學(xué) 襄樊四中 2009屆高三第二次聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題(文)
命題人:襄樊五中 劉軍 何宇飛 審題人:襄樊四中 何天海
考試時(shí)間:
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
6.要從10名女生和5名男生中選出6名學(xué)生組成課外興趣小組,如果按性別依比例分層隨機(jī)抽樣,則組成此課外興趣小組的概率為( )
二.填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.
三.解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本題滿分12分)在某社區(qū)舉辦的《2008奧運(yùn)知識有獎問答比賽》中,甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)奧運(yùn)知識的問題,已知甲回答對這道題的概率是,甲、丙兩人都回答錯的概率是
,乙、丙兩人都回答對的概率是
.
(Ⅰ)求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率.
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率.
三.解答題:
∴當(dāng)時(shí),即
時(shí),
是減函數(shù)
當(dāng)時(shí),即
時(shí),
是增函數(shù)
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是
,單調(diào)增區(qū)間是
………………12分
17.解:記“甲回答對這道題”、“ 乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件、
、
,則
,且有
,即
則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為:
18. 解法一 公理化法
(1)當(dāng)時(shí),取
的中點(diǎn)
,連接
,因?yàn)?sub>
為正三角形,則
,由于
為
的中點(diǎn)時(shí),
∵
平面
,∴
平面
,∴
.………………………………………………4分
(2)當(dāng)時(shí),過
作
于
,如圖所示,則
底面
,過
作
于
,連結(jié)
,則
,
為二面角
的平面角,
,即二面角
的大小為
.…………………………………………………8分
即到平面
的距離為
.…………………………………………………………………………12分
解法二 向量法
以為原點(diǎn),
為
軸,過
點(diǎn)與
垂直的直線為
軸,
為
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,如圖所示,
(2)當(dāng)時(shí),
點(diǎn)的坐標(biāo)是
又由于二面角是一個銳角,則二面角
的大小是
.……………………8分
到平面
的距離為
.………………………………………………………………………12分
故在點(diǎn)處的切線方程是
…………………………………………2分
則或
,所以函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間是
,…………………………8分
實(shí)數(shù)
的取值范圍是
.………………………………………………………12分
20. 解:(Ⅰ)設(shè)過與拋物線
的相切的直線的斜率是
,
則直線的方程是
,則直線
過定點(diǎn)
.………………………………………8分
而到直線
的距離
,當(dāng)且僅當(dāng)
即
時(shí)取等號.………………………………………………………………10分
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