第十三講  不等式的解法

★★★高考在考什么

【考題回放】

1、（山東文）命題“對(duì)任意的”的否定是（    ）

A．不存在      B．存在

C．存在         D．對(duì)任意的

【答案】C【分析】注意兩點(diǎn)：（1）全稱命題變?yōu)樘胤Q命題；（2）只對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定。

2、（全國(guó)2理6）不等式:>0的解集為

(A)( -2, 1)                         (B) ( 2, +∞)

(C) ( -2, 1)∪  ( 2, +∞)                   (D) ( -∞, -2)∪  ( 1, +∞)

解．不等式:>0，∴ ，原不等式的解集為(-2, 1)∪(2, +∞)，選C。

3、(安徽文8)設(shè)a＞1,且,則的大小關(guān)系為

(A) n＞m＞p        (B) m＞p＞n   (C) m＞n＞p    (D) p＞m＞n

解析：設(shè)a＞1,∴ ，，,∴ 的大小關(guān)系為m＞p＞n，選B。

4．(安徽理3)若對(duì)任意R,不等式≥ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(A)a＜－1          (B)≤1             (C) ＜1            （D）a≥1

解析：若對(duì)任意R,不等式≥ax恒成立，當(dāng)x≥0時(shí)，x≥ax，a≤1，當(dāng)x<0時(shí)，－x≥ax，∴a≥－1，綜上得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是≤1，選B。

5、（北京理7）如果正數(shù)滿足，那么（　�。�

Ａ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一

Ｂ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一

Ｃ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一

Ｄ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一

解析：正數(shù)滿足，∴ 4=，即，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，當(dāng)且僅當(dāng)c=d=2時(shí)，“=”成立；綜上得，且等號(hào)成立時(shí)的取值都為2，選A。

6．（重慶理13）若函數(shù)f(x) = 的定義域?yàn)镽，則的取值范圍為_(kāi)______.【答案】：

【分析】：恒成立，恒成立，

★★★高考要考什么

1. 絕對(duì)值不等式和無(wú)理不等式都是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，其難點(diǎn)是解無(wú)理不等式中去根號(hào)的方法和條件。因此要求學(xué)生熟練掌握去根號(hào)，去絕對(duì)值符號(hào)的方法。

  2. 處理指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式方法一般是運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為有理不等式（組）來(lái)求解。因此本講的重點(diǎn)是指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，其難點(diǎn)是如何轉(zhuǎn)化為有理數(shù)不等式組，特別是對(duì)數(shù)不等式中定義域條件的限制。

  3. 比較法是證明不等式的基本方法之一，是高考的重點(diǎn)，在運(yùn)用比較法證明不等式時(shí)的難點(diǎn)是對(duì)差或商進(jìn)行合理變形。

★★★ 突 破 重 難 點(diǎn)

【范例1】

    解析：由題可知：

    （1）若0<a<1時(shí)，原不等式等價(jià)于下列不等式組：

    （2）若a>1時(shí)，原不等式等價(jià)下列不等式組

    （3）若a=1時(shí)，原不等式可化為

    綜上可知原不等式的解為：

    小結(jié)：    對(duì)于含參數(shù)的不等式，重點(diǎn)在于對(duì)參數(shù)的討論，應(yīng)做到正確分類(lèi)（標(biāo)準(zhǔn)一致，不重不漏）。

【范例2】

    解：   

    則原不等式等價(jià)于下列不等式

【范例3】

    分析：首先應(yīng)打開(kāi)絕對(duì)值符號(hào)（由定義或等價(jià)變換均可）然后再解無(wú)理不等式，也可以用圖形求解。

    解：

    解法二：

小結(jié)：從以上第一種解法知，此題既考查了絕對(duì)值不等式的解法，又考查了兩種無(wú)理不等式的解法，不失為一道好題。選擇解法一時(shí)，應(yīng)特別注意等價(jià)變換、有序，最好不要一開(kāi)始就討論、略顯雜亂，對(duì)于用圖像法求解時(shí)，畫(huà)圖應(yīng)規(guī)范，重要的點(diǎn)的坐標(biāo)必須標(biāo)出。

【范例4】

    分析：作差后既不易分解因式，也不易配方，可將差式中的b看作常數(shù)，為分解這個(gè)關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，可用求根法，雖然方法特殊，但思路的出發(fā)點(diǎn)仍是將差式分解。

    證法一：作差并整理得：

    證法二：