湖南省衡陽市祁東縣育賢中學(xué)高三文科數(shù)學(xué)試題（2007年1月）

湖南省衡陽市祁東縣育賢中學(xué)   高明生  彭鐵軍 郵政編碼：421600

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至10小題，第Ⅱ卷11至21題。全卷共150分�？荚囉脮r120分鐘。

第Ⅰ卷（選擇題  共50分）

一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、設(shè)x，y，z是空間不同的直線或平面，對于下列四種情形，使“x⊥z且y⊥zx//y”為真命題的是（      ）                                                             ①x，y，z均為直線；   ②x，y是直線，z是平面  

    ③z是直線，x，y是平面；            ④x，y，z均為平面.

    A．①，②         B．①，③         C．③，④         D．②，③

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2、命題的充要條件；命題若的解集為，

那么（   ）

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A、“P或”為假  B、“P且”為真   C、“P且?”為真   D、“?P且”為真

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3、將棱長相等的正方體按右圖所示的形狀擺放，從上往下依次為第1層，第2層，第3層，…，則第6層正方體的個數(shù)是（    ）

A．28  B．21  

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C．15   D．11．

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4、已知則下列結(jié)論中正確的是（    ）

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A、函數(shù)的周期為；

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B、函數(shù)的最大值為1；

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C、將的圖象向左平移單位后得的圖象；

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D、將的圖象向右平移單位后得的圖象；

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5、已知，，若BA，則實數(shù)的取值范圍是（    ）

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A、    B、    C、   D、

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6、設(shè)函數(shù)定義在實數(shù)集上，則函數(shù)與的圖象關(guān)于（  ）

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A、直線對稱  B、直線對稱  C、直線對稱  D、直線對稱

 

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7、過點A(4，a)和點B(5，b)的直線與直線y=x+m平行，則|AB|的值為（  ）

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 A．6     B．      C．2       D．不能確定

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8、 函數(shù)=(0<a<b<c)的圖象關(guān)于（   ）對稱

A、x軸     B、y軸       C、原點         D、直線y=x    

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9、直線x+ay+1=0與直線(a+1)x-by+3=0互相垂直，a,b∈R，則|ab|的最小值是（    ）

 A．5              B.4            C.2                  D.1  

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10、若都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則不可能是（    ）

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A、   B、   C、    D、

第Ⅱ卷（非選擇題   共100分）

注意事項：

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第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。

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二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，(第15小題每空2分)共20分，把答案填在答題卡相應(yīng)位置上。

11、2008年第29屆奧運會將在北京召開，現(xiàn)有三個實數(shù)的集合，既可以表示為{a，，1}，也可表示為{a2，a＋b，0}，則a2008＋b2008=               ．

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12、若點O是的外心，且，則的內(nèi)角C為         度；

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13、函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為                。

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14、若曲線在點P處的切線平行于直線則點P的坐標(biāo)為         ；

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      的數(shù)表，若表中每行的7個數(shù)自左至右依次都成等差
      數(shù)列，每列的7個數(shù)自上而下依次也都成等差數(shù)列，
      

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      且正中間的數(shù)a=1，則表中所有數(shù)的和為_____.
       
       
       
       
       
       
      

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      三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟
      16、（本小題滿分12分）如圖所示，以向量為邊
      

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      作平行四邊形，，
      

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      ．
      

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      　 （１）用表示；
      

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      （２）若，求的最大值．
      

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      17、（本小題滿分12分）已知袋中有編號為1~9的小球各一個，它們的大小相同，從中任取三個小球.求：
      (Ⅰ)恰好有一球編號是3的倍數(shù)的概率；
      (Ⅱ)至少有一球編號是3的倍數(shù)的概率；
      (Ⅲ)三個小球編號之和是3的倍數(shù)的概率.
      

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      18、（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4.
      (Ⅰ)求橢圓的方程；
      

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      (Ⅱ)直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點，當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時，求直線l的方程.
      

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      19、（本小題滿分14分）（Ⅰ）試討論方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲線；
      

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      （Ⅱ）設(shè)雙曲線的中心在原點，準(zhǔn)線平行于x軸，離心率為，且點P（0，5）到此雙曲線上的點的最近距離為2，求雙曲線的方程.
      

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      20、（本小題滿分14分）已知在棱長為1的正方體中，
      

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      M，N，P分別為的中點。求異面直線
      所成的角。
      

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      21、（本小題滿分14分）對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點  已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b?1)(a≠0)
      （1）若a=1,b=?2時，求f(x)的不動點；
      （2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；
      

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      （3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點，且A、B關(guān)于直線y=kx+對稱，求b的最小值  
      湖南省衡陽市祁東縣育賢中學(xué)高三文科數(shù)學(xué)試題（2007年1月）
      

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      一、          
選擇題：
      1、答案：D
      解：②表示垂直于同一平面的兩條直線互相平行；
      ③表示垂直于同一直線的兩個平面互相平行；
      2、答案：D ；
      解：，非P真；又真，所以選D；
      3、答案：B ；
      解：本題考查了正方體堆壘問題及數(shù)列通項公式的求解.列出該數(shù)列的前幾項,通過相鄰項間的關(guān)系可得出該數(shù)列的規(guī)律而得出一等差數(shù)列.
      由圖示可得,該正方體的個數(shù)所組成的數(shù)列1,3,6,…,
其后一項減前一項得一數(shù)列2,3,4,…為一個等差數(shù)列.由此可得第6層的正方體的個數(shù)為1,3,6,10,15,21,… , 
      故應(yīng)選B. 
      4、答案：D ；
      解：的圖象向右平移單位后得到：，故選D；
      5、答案：B ；
      解：據(jù)題意可知集合A表示函數(shù)的定義域，，易化簡得，由于BA，故當(dāng)時，即時易知符合題意；當(dāng)時，，要使BA，結(jié)合數(shù)軸知需或（經(jīng)驗證符合題意）或（經(jīng)驗證不合題意舍去），解得，故綜上所述可知滿足條件的的取值范圍是，故答案為B；
      6、答案：D ；
      解：由圖象變換可以得到兩個圖象間的關(guān)系，函數(shù)是由函數(shù)的圖象向右平移一個單位得到，而是由函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱得到再向右平移一個單位得到，故兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。故選D
      7、答案：B ；
      解：兩直線平行,則其斜率相等,利用兩點間直線的斜率公式可以得兩字母間的關(guān)系,于是可得兩點間的距離.
      由題意得
      所以故應(yīng)選B.
      8、答案：B ；
      解：由于，故函數(shù)的定義域為，根據(jù)已知0<a<b<c，則易將函數(shù)解析式化簡為= ，故且其定義域關(guān)于原點對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱。故應(yīng)選B.
      9、答案：C ；
      解：本題考查直線的斜率,由垂直關(guān)系得兩直線的斜率之積為,再由均值不等式轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化得出不等關(guān)系式，分類討論得出的最小值.由題意,
      ∵兩直線互相垂直,
      ∴,即,
      ∴,則.
      當(dāng)時,;當(dāng)時,.
      綜合得的最小值為. 故應(yīng)選C.
      10、答案：C ；
      解：由題意可知，存在，使，即，從函數(shù)定義出發(fā)，畫出映射幫助思考，從A到B再到C是由題意可得，如果繼續(xù)對C集合中的，應(yīng)用法則，則會得到，從B到C再到D的映射為，即存在，使，即函數(shù)過點，即方程有解，易知在實數(shù)集R上無解故選D。
      二、          
填空題：
      11、答案：1 ；
      解：根據(jù)集合中元素的確定性，我們不難得到兩集合的元素是相同的，這樣需要列方程組分類討論，顯然復(fù)雜又煩瑣．這時若能發(fā)現(xiàn)0這個特殊元素，和中的a不為0的隱含信息，就能得到如下解法.由已知得＝0，及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性a＝1應(yīng)舍去，因而a＝－1，故a2008＋b2008＝(-1) 2008＝1．
      12、答案：120度；
      解：依題意可知：A、O、B、C構(gòu)成平形四邊形，，故的內(nèi)角C為120度；
      13、答案：；
      解： 
      .
      14、答案： ；
      解：，設(shè)，依題意可知：，又P在曲線上，故，故點P的坐標(biāo)為 ；
      15、答案：49 ；
      解：本題考查用取特殊值法進(jìn)行驗證.由題意分析,
      不妨設(shè)各個格中的數(shù)都為1,
則符合題意要求,所以表中所有數(shù)字之和為49.
      三、           
解答題：
      16、 解:（１）因為              

      ，    
      所以．        
 
      （２）由即，
      亦即． 
      故，
      當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號． 
      又．
      故當(dāng)時有有最大值．   
      17、 解:(Ⅰ)從九個小球中任取三個共有種取法，它們是等可能的.設(shè)恰好有一球編號是3的倍數(shù)的事件為A，
      則.
      (Ⅱ)設(shè)至少有一球編號是3的倍數(shù)的事件為B，
      則 .
      （Ⅲ）設(shè)三個小球編號之和是3的倍數(shù)的事件為C，設(shè)集合, ,則取出三個小球編號之和為3的倍數(shù)的取法共有種，則.
      18、解：設(shè)橢圓方程為
      （Ⅰ）易得所求橢圓方程為.
      （Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為
      由，消去y得關(guān)于x的方程：
      由直線與橢圓相交于A、B兩點，解得
      又由韋達(dá)定理得原點到直線的距離.
      對兩邊平方整理得：（*）∵，
      整理得： 又，      從而的最大值為，此時代入方程（*）得   
      所以，所求直線方程為：.
      19、（Ⅰ）解：（1）3－k2>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲線是焦點在x軸上的橢圓；
      （2） 1－k>3－k2>0k∈（－，－1），方程所表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓；
      （3）1－k=3－k2>0k=－1，表示的是一個圓；
      （4）（1－k）（3－k2）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是雙曲線；
      （5）k=1，k=－，表示的是兩條平行直線；k=，表示的圖形不存在.
      （Ⅱ）解：依題意，設(shè)雙曲線的方程為－=1（a>0，b>0）.∵e==，c2=a2+b2，∴a2=4b2.
      設(shè)M（x，y）為雙曲線上任一點，則|PM|2=x2+（y－5）2=b2（－1）+（y－5）2=（y－4）2+5－b2（|y|≥2b）.
      ①若4≥2b，則當(dāng)y=4時，|PM|min2=5－b2=4，得b2=1，a2=4.從而所求雙曲線方程為－x2=1.
      ②若4<2b，則當(dāng)y=2b時，|PM|min2=4b2－20b+25=4，得b=（舍去b=），b2=，a2=49.
      從而所求雙曲線方程為－=1. 
      20、解：如圖，連結(jié)，由為中點，則從而.故AM和所成的角為所成的角，易證≌。所以，故所成的角為。又設(shè)AB的中點為Q，則又從而CN與AM所成的角就是（或其補角）。易求得在中，由余弦定理得，故所成的角為。
      21、解  （1）當(dāng)a=1,b=?2時，f(x)=x2?x?3，
      由題意可知x=x2?x?3，得x1=?1,x2=3  
      故當(dāng)a=1,b=?2時，f(x)的兩個不動點為?1,3  
      （2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b?1)(a≠0)恒有兩個不動點，
      ∴x=ax2+(b+1)x+(b?1)，
      即ax2+bx+(b?1)=0恒有兩相異實根
      ∴Δ=b2?4ab+4a＞0(b∈R)恒成立  
      于是Δ′=(4a)2?16a＜0解得0＜a＜1
      故當(dāng)b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，0＜a＜1  
      （3）由題意A、B兩點應(yīng)在直線y=x上，設(shè)A(x1,x1),B(x2,x2)
      又∵A、B關(guān)于y=kx+對稱  
      ∴k=?1  設(shè)AB的中點為M(x′,y′)
      ∵x1,x2是方程ax2+bx+(b?1)=0的兩個根  
      ∴x′=y′=，
      又點M在直線上有，
      即
      ∵a＞0，∴2a+≥2當(dāng)且僅當(dāng)2a=即a=∈(0,1)時取等號，
      故b≥?，得b的最小值?  
       
      作者：     湖南省衡陽市祁東縣育賢中學(xué)  高明生  彭鐵軍
      PC：       421600
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