秘密★啟用前

2008年廣州市高三教學質(zhì)量抽測試題

數(shù)  學（文科）

                                                            2008．1

 

本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．

注意事項：

1．答選擇題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考試科目填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將相應(yīng)的信息點涂黑．

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上．

3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．

4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．

 

參考公式：

錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高．

如果事件、互斥，那么．

 

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．集合的真子集的個數(shù)為

       A．6             B．7             C．8             D．9

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2．不等式的解集是

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       A．              B．

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C．                 D．

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3．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為

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       A．     B．        C．      D．

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4．已知等比數(shù)列的前三項依次為，，，則

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       A．        B．        C．         D．

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5．拋物線上一點到焦點的距離為3，則點的橫坐標

       A．1             B．2             C．3              D．4

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6．設(shè)復數(shù)滿足，則

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A．         B．       C．          D．

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7．已知向量，，若，則

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A．                            B．

C．1                              D．3

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8．如圖1所示，是關(guān)于閏年的流程，則以下年份是

閏年的為

A．1996年

    B．1998年

    C．2010年

    D．2100年

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9．已知，是平面，，是直線，給出下

列命題

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①若，，則．

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②若，，，，則．

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③如果、n是異面直線，那么相交．

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④若，∥，且，則∥且∥．

其中正確命題的個數(shù)是

A．4             B．3               C．2                D．1

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10．函數(shù)，若（其中、均大于２），則的最小值為

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    A．            B．              C．             D．

 

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二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．

11．某校對全校男女學生共1600名進行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本．已知女生抽了95人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)是       人．

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12．已知雙曲線的離心率為2，則實數(shù)     ．

 

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13．如圖2所示，函數(shù)的圖象在點P處的切線方程是

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，則        ，        ．

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14．（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，點到直線的距離為         ．

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15．（幾何證明選講選做題）如圖3所示，與是的直徑，，是延長線上一點，連交于點，連交于點，若，則       ．

 

 

 

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三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

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    已知射手甲射擊一次，命中9環(huán)（含9環(huán)）以上的概率為0.56，命中8環(huán)的概率為0.22，命中7環(huán)的概率為0.12．

（1）求甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率；

（2）求甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率.

 

 

 

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17．（本小題滿分12分）

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       在△中，角所對的邊分別為，已知，，．

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（1）求的值；

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（2）求的值．

 

 

 

 

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18．（本小題滿分14分）

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如圖4所示，四棱錐中，底面為正方

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形，平面，，，，分

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別為、、的中點．

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（1）求證：平面；

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（2）求三棱錐的體積．

 

 

 

 

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19．（本小題滿分14分）

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已知曲線上任意一點到兩個定點和的距離之和為4．

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（1）求曲線的方程；

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（2）設(shè)過的直線與曲線交于、兩點，且（為坐標原點），求直線的方程．

 

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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設(shè)函數(shù)

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（1）求函數(shù)的極大值；

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（2）若時，恒有成立（其中是函數(shù)的導函數(shù)），試確定實數(shù)a的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分14分）

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已知數(shù)列中，，，其前項和滿足

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（，）．

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（1）求數(shù)列的通項公式；

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（2）設(shè)為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對任意，都有成立．

 

 

 

 

 

 

2008年廣州市高三教學質(zhì)量抽測

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應(yīng)的分數(shù)．

      2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)．

4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

D

C

B

A

D

A

C

B

10．方法1：由，得，

即．

于是，

所以．

    方法2：由，得，

即．

于是，

則（其中），再利用導數(shù)的方法求解．

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共5小題，每小題5分，滿分20分．

11．760         12．12         13．3；－1         14．         15．3

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查互斥事件等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力）

解：記“甲射擊一次，命中7環(huán)以下”為事件，“甲射擊一次，命中7環(huán)”為事件，由于在一次射擊中，與不可能同時發(fā)生，故與是互斥事件，

（1）“甲射擊一次，命中不足8環(huán)”的事件為，

由互斥事件的概率加法公式，．

答：甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率是0.22．…………………………………6分

（2）方法1：記“甲射擊一次，命中8環(huán)”為事件，“甲射擊一次，命中9環(huán)（含9環(huán)）以上”為事件，則“甲射擊一次，至少命中7環(huán)”的事件為，

∴．

答：甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率為0.9．…………………………………12分

方法2：∵“甲射擊一次，至少命中7環(huán)”為事件，

∴=1－0.1＝0.9．

答：甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率為0.9．…………………………………12分

 

17．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力）

解：（1）由余弦定理，，………………………………………2分

得，…………………………………………………4分

．……………………………………………………………………………6分

（2）方法1：由余弦定理，得，………………………………8分

，………………………10分

∵是的內(nèi)角，

∴．………………………………………………………12分

方法2：∵，且是的內(nèi)角，

∴．………………………………………………………8分

根據(jù)正弦定理，，……………………………………………………10分

得． ……………………………………………12分

 

18．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查空間中線面關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和方法，以及空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力）

（1）證法1：如圖，取的中點，連接，

∵分別為的中點，∴．

∵分別為的中點，∴．

∴．

∴四點共面．………………………………………………………………2分

∵分別為的中點，∴．……………………………………4分

∵平面，平面，

∴平面．……………………………………………………………………6分

證法2：∵分別為的中點，

∴，．……………………………………………………………2分

∵，∴．

∵，，∴平面平面． …………………5分

∵平面，∴平面． …………………………………………6分

（2）解：∵平面，平面，∴．

∵為正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………8分

∵，，∴．……………10分

∵，

∴．…………………………………14分

19．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查橢圓方程的定義等基礎(chǔ)知識，考查分類與整合、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力）

解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可知動點的軌跡為橢圓，………………………………1分

    其中，，則．………………………………………2分

所以動點M的軌跡方程為．………………………………………………4分

（2）當直線的斜率不存在時，不滿足題意．………………………………………5分

當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

∵，∴．……………………………………………7分

　　  ∵，，

∴．

　　　∴ ．………… ①  …………………………9分

由方程組

得．…………………………………………………11分

則，，

代入①，得．

即，解得，或．………………………………………………13分

　所以，直線的方程是或．………………………………14分

 

20．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的概念、不等式及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、邏輯推理能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識）

解：（1）∵，且，…………………………………1分

當時，得；當時，得；

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為；

的單調(diào)遞減區(qū)間為和．…………………………………3分

故當時，有極大值，其極大值為． …………………4分

（2）∵，

當時，，

∴在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減．…………………………………………6分

∴．

∵，∴

此時，．…………………………………………………………………………9分

當時，．

∵，∴即 ……11分

此時，．……………………………………………………………13分

綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．…………………………………14分

 

21．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查等差數(shù)列、不等式及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力）

解：（1）由已知，（，）， …………………2分

即（，），且．

∴數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列．

∴．……………………………………………………………………………4分

（2）∵，∴，要使恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立．……………………………………………………………6分

（?）當為奇數(shù)時，即恒成立，…………………………………………7分

當且僅當時，有最小值為1，

∴．………………………………………………………………………………9分

（?）當為偶數(shù)時，即恒成立，………………………………………10分

當且僅當時，有最大值，

∴．……………………………………………………………………………12分

即，又為非零整數(shù)，則．

綜上所述，存在，使得對任意，都有．…………………14分

 


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