如圖,已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點B(1,2),與軸的另一個交點為A,點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C,過點B作直線BM⊥軸垂足為點M.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在直線BM上有點P(1,),聯(lián)結(jié)CP和CA,判斷直線CP與直線CA的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,在坐標(biāo)軸上是否存在點E,使得以A、C、P、E為
頂點的四邊形為直角梯形,若存在,求出所有滿足條件的點E的坐標(biāo);
若不存在,請說明理由。
答案:(1)∵點B(1,2)在二次函數(shù)的圖像上,
∴ -
∴二次函數(shù)的解析式為-
(2)直線CP與直線CA的位置關(guān)系是垂直
∵二次函數(shù)的解析式為
∴點A(3,0) C(2,2)
∵P(1,)
∴
∴ ∴∠PCA=90°
即CP⊥CA
(3) 假設(shè)在坐標(biāo)軸上存在點E,使得以A、C、P、E為頂點的四邊形為直角梯形,
∵∠PCA=90°
則①當(dāng)點E在軸上,PE//CA
∴△CBP∽△PME , ∴,∴,∴---------------(2分)
②當(dāng)點E在軸上, PC//AE
∴△CBP∽△AOE, ∴,∴,∴--------------(2分)
即點Q的坐標(biāo)、時,以A、C、P、E為頂點的四邊形為直角梯形。
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