20． 設是定義在[0.1]上的函數.若存在上單調遞增.在[x*.1]上單調遞減.則稱為[0.1]上的單峰函數.x*為峰點.包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間. 對任意的[0.1]上的單峰函數.下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法. (Ⅰ)證明:對任意的為含峰區(qū)間, 若為含峰區(qū)間, (Ⅱ)對給定的r.證明:存在.使得由(Ⅰ)所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r, (Ⅲ)選取.由(Ⅰ)可確定含峰區(qū)間為(0.)或(.1).在所得的含峰區(qū)間內選取類似地可確定一個新的含峰區(qū)間.在第一次確定的含峰區(qū)間為(0.)的情況下.試確定的值.滿足兩兩之差的絕地值不小于0.02.且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34. (區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差) [答案] [詳解] (I)證明:設為的峰點,則由單峰函數定義可知在上單調遞增, 在上單調遞減. 當時,假設,則從而 這與矛盾,所以,即是含峰區(qū)間. 當時,假設,則,從而 這與矛盾,所以,即是含峰區(qū)間. 的結論可知: 當時,含峰區(qū)間的長度為 當時,含峰區(qū)間的長度為 對于上述兩種情況,由題意得 由①得,即 又因為,所以 將②代入①得 由①和③解得 所以這時含峰區(qū)間的長度,即存在使得所確定的含峰區(qū)間 的長度不大于 (III)解:對先選擇的,由(II)可知 在第一次確定的含峰區(qū)間為的情況下, 的取值應滿足 由④與⑤可得 當時,含峰區(qū)間的長度為 由條件,得,從而 因此,為了將含峰區(qū)間的長度縮短到,只要取 [名師指津] 本題為信息題,通過題目中給出的信息結合已學過的數學知識解決這類問題. 【查看更多】

 

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（本小題滿分14分）

設定義在區(qū)間上的函數的圖像為C，點A、B的坐標分別為且為圖像C上的任意一點，O為坐標原點，當實數滿足時，記向量恒成立，則稱函數在區(qū)間上可在標準k下線性近似，其中k是一個確定的正數。

（Ⅰ）求證：A、B、N三點共線

（Ⅱ）設函數在區(qū)間[0，1]上可的標準k下線性近似，求k的取值范圍；

（Ⅲ）求證：函數在區(qū)間上可在標準下線性近似。

（參考數據：e=2.718,ln（e-1）=0.541）

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