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A（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)是⊙O上的兩點(diǎn)，OC⊥AB，過點(diǎn)F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點(diǎn)D，連接CF交AB于點(diǎn)E．
求證：DE²=DB•DA．
B（選修4-2：矩陣與變換）
求矩陣

2 1 1 2

的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量．
C（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，直線l的參數(shù)方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是M，N是曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求MN的最大值．
D（選修4-5：不等式選講）
已知m＞0，a，b∈R，求證：(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

．

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一、選擇題: CCBCD   DCDBB   C A

二、填空題:   13. 45      14.   30      15.       16.

三、解答題:17.解: （1） ………1分

       ，化簡得     …3分

       （2）)

 令Z），函數(shù)f(α)的對(duì)稱軸方程為Z).……12分

18.解：（1）油罐沒被引爆分兩種情形：

       ①5發(fā)子彈只有1發(fā)擊中，其概率為：

    ②5發(fā)子彈全沒有擊中，其概率為

    （2）的可能取值為2，3，4，5.

       ∴的分布列為：      

2

3

4

5

P

    的數(shù)學(xué)期望為：E=2×+3×+4×+5×=.……………………12分

19. （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB.……(3分)     又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.……5分

       （2）解：過A作AF∥BC，交CD于F，以A為原點(diǎn)，AF，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.

設(shè)PA=AB=BC=a,則A(0,0,0), B(0,a,0)，C(a,a,0), P(0,0,a), E(0,

              .……………………………………8分

設(shè)n₁=(x,y,1)為平面AEC的一個(gè)法向量，       則n₁⊥，n₁⊥,

∴解得x=, y=-,∴n₁=(,-,1).

設(shè)n₂=(x′,y′,1)為平面PBC的一個(gè)法向量，同理可得n₂=(0,1,1).…………11分

cos<n₁,n₂>==∴平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值為.…12分

20. 解：（1）由a_n+1=2a_n+n+1可得a_n+1+(n+1)+2=2(a_n+n+2),

       所以數(shù)列{a_n+n+2}是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a₁+1+2=-1+1+2=2,

       于是a_n+n+2=2?2^n-1=2ⁿ.…………(10分)   故a_n=2ⁿ-n-2.

       {a_n}的前n項(xiàng)和S_n=……6分

       （2）證明：假設(shè){a_n}是等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a₁,

則a₂=2a₁+2, a₃=2a₂+3=4a₁+7,………(8分)于是有(2a₁+2)²=a₁(4a₁+7)，解得：a₁=-4,于是公比,這時(shí)a₄=a₁q³=(-4)×()³=-.…………………10分

但是由題中所給遞推公式，a₄=2a₃+4=8a₁+18=-14，二者矛盾，所以{a_n}不可能是等比數(shù)列.………………12分

21.解：（1）設(shè)橢圓C的方程為半焦距為c，依題意有

|PF|=|F₁F₂|=2c

       ∴ 解得，∴b=1. ∴所求橢圓方程為…4分

       （2）由得.

       設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(x₁, y₁)、B(x₂,y₂),……………………6分

       .

①當(dāng)m=0時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則λ=0.②當(dāng)m≠0時(shí)，點(diǎn)A、B不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則λ≠0.

       ∵點(diǎn)Q在橢圓上，∴有……………8分

       化簡得4m²(1+2k²)= ∵

∵直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，△=16k²m²-4(1+2k²)(2m²-2)=8(2k²+1-m²)  ∴ (1+2k²-m²)>0,

1+2k²>m².(**)…(10分)由（*）（**）可得4m²>.∵m≠0, ∴

       綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是(-2,2).………………………………………12分

22.解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋海?∞, -1）∪(-1, +∞),……………………1分

∵…………………………………2分

令令得x<-2或-1<x<0.

則函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-2,-1), (0, +∞),遞減區(qū)間是（-∞, -2）, (-1, 0).………4分

（2）由（1）知，f(x)在[上遞減，在[0，e-1]上遞增，又

 ，故m> e²-2時(shí)，不等式恒成立.……8分

（3）依題意，原命題等價(jià)于方程x-a+1-ln(1+x)²=0在x∈[0, 2]上有兩個(gè)相異的實(shí)根，……9分

記h(x)=x-a+1-ln(1+x)², 則h′(x)=1-令h′(x)>0，得x<-1或x>1，令h′(x)<0，得-1<x<1.

∴h(x)在[0, 1)上遞減，在(1,2]上遞增.………………10分

為使h(x)在[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，只須h(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一個(gè)實(shí)根，于是有即a的取值范圍是(2-ln2, 3-ln3].…………14分