(1)證明:定義在R上的二次函數(shù)是凸函數(shù), 【查看更多】

 

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值、總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的凸函數(shù) .

（1）證明：定義在R上的二次函數(shù)是凸函數(shù)；

（2）設(shè)，并且時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并判斷函數(shù)能否成為上的凸函數(shù)；

（3）定義在整數(shù)集Z上的函數(shù)滿足：①對任意的，；②，. 試求的解析式；并判斷所求的函數(shù)是不是R上的凸函數(shù)說明理由.

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上任意x1，x2都有不等式數(shù)學(xué)公式成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（I）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（II）對（I）的函數(shù)y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值時(shí)函數(shù)y=f（x）的解析式；
（III）定義在R上的任意凸函數(shù)y=f（x），當(dāng)q，p，m，n∈N*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，證明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上任意x1，x2都有不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≤f(
x1+x2
2
)成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（I）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（II）對（I）的函數(shù)y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值時(shí)函數(shù)y=f（x）的解析式；
（III）定義在R上的任意凸函數(shù)y=f（x），當(dāng)q，p，m，n∈N*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，證明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上任意x1，x2都有不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≤f(
x1+x2
2
)成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（I）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（II）對（I）的函數(shù)y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值時(shí)函數(shù)y=f（x）的解析式；
（III）定義在R上的任意凸函數(shù)y=f（x），當(dāng)q，p，m，n∈N*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，證明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1、x2總有以下不等式≤f（）成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（1）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]時(shí)，f（x）≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并判斷函數(shù)
f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）能否成為R上的凸函數(shù)；
（3）定義在整數(shù)集Z上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
試求f（x）的解析式；并判斷所求的函數(shù)f（x）是不是R上的凸函數(shù)說明理由．

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一．選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

C

B

B

A

B

D

二．填空題：

9．6、30、10；                 10．?5；               11．；

12．?250；                     13．；              14．③④

三．解答題：

15．解： ；  ………5分

方程有非正實(shí)數(shù)根

 

綜上： ……………………12分16．解:(I)設(shè)袋中原有個(gè)白球,由題意知

可得或(舍去)

答：袋中原有3個(gè)白球. 。。。。。。。。4分

(II)由題意,的可能取值為1,2,3,4,5

 

所以的分布列為:

1

2

3

4

5

。。。。。。。。。9分

(III)因?yàn)榧紫热?所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,記”甲取到白球”為事件,則

答：甲取到白球的概率為.。。。。。。。。13分

17．解：（1）由＝.＝，∴＝1；。。。。。。。。。4分

（2）任取、∈（1，＋∞），且設(shè)＜，則：

－＝＞0，

∴＝在（1，＋∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)；。。。。。。。。。8分

（3）當(dāng)直線＝（∈R）與的圖象無公共點(diǎn)時(shí)，＝1，

∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

得：＞或＜．。。。。。。。。13分

18．（Ⅰ）證明：∵底面，底面，　∴

　　　又∵且平面，平面，，

　　　　∴平面；３分

（Ⅱ）解：∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，

∴，由（Ⅰ）知平面，

∴平面，

∴，，

∴為二面角的平面角，

∵底面，∴與底面所成的角即為，

∴＝，∵為直角三角形斜邊的中點(diǎn)，

∴為等腰三角形，且，∴；

（Ⅲ）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵底面,

　　　∴底面,為直線在底面上的射影，

　　　要，由三垂線定理的逆定理有要 ，

　設(shè)，則由得，

　又∴在直角三角形中，，

∴，

∵　∴，，

在直角三角形中，，

　，即時(shí)，．

（Ⅲ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)，則

則，，,

，時(shí)時(shí)，.

 

 

19  證明：（1）對任意x1, x2∈R, 當(dāng) a0,

有 =                         =……（3分）

∴當(dāng)時(shí)，，即

  當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)是凸函數(shù).   ……（4分）

 （2） 當(dāng)x=0時(shí), 對于a∈R，有f(x)≤1恒成立；當(dāng)x∈(0, 1]時(shí), 要f(x)≤1恒成立

即， ∴ 恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ ≥1, 當(dāng)=1時(shí), 取到最小值為0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范圍是.

由此可知，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值恒為負(fù)數(shù)，由（1）可知函數(shù)f(x)是凸函數(shù)………10分

（3）令則，∵，∴，……………..(11)分

令，則，故；

若，則

；，……………..(12)分

若，則 ∴；∴時(shí)，.

綜上所述，對任意的，都有；……………..(13)分

所以，不是R上的凸函數(shù). ……………..(14)分

對任意，有，

所以，不是上的凸函數(shù). ……………..(14)分

20. 解：（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則

……….4分

（2）為偶數(shù)時(shí)，

為奇數(shù)時(shí)，

………9分

（3）方法1、因?yàn)?sub>所以

當(dāng)，時(shí)，，時(shí)

又由，兩式相減得

 所以若，則有………..14分

方法2、由，兩式相減得

………..11分

所以要證明，只要證明

或①由：

所以…………………14分

或②由：

…………………14分

數(shù)學(xué)歸納法：①當(dāng)

當(dāng)

②當(dāng)

當(dāng)

綜上①②知若，則有.

所以，若，則有.。。。。。。。。。14分

 

 


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