題目列表(包括答案和解析)
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已知動點的軌跡是曲線
,滿足點
到點
的距離與它到直線
的距離
之比為常數(shù),又點
在曲線
上.
(1)求曲線的方程;
(2)已知直線與曲線
交于不同的兩點
和
,求實數(shù)
的取值范圍.
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1.B 2.C 3.B 4.C 5.B 6.B 7.C 8.B 9.C 10.B
11.C 12.D
【解析】
3.當(dāng)時,函數(shù)
在
上,
恒成立即
在
上恒成立,可得
當(dāng)時,函數(shù)
在
上,
恒成立
即在
上恒成立
可得,對于任意
恒成立
所以,綜上得
.
4.解法一:聯(lián)立,得
.
方程總有解,需
恒成立
即恒成立,得
恒成立
;又
的取值范圍為
.
解法二:數(shù)形結(jié)合,因為直線恒過定點(0,1),要使直線與橢圓
總有交點當(dāng)日僅當(dāng)點(0,1)在橢圓上或橢圓內(nèi),即
又
的取值范圍為
.
5.
7.展開式前三項的系數(shù)滿足可解得
,或
(舍去).從而可知有理項為
,故C正確.
8.,欲使
為奇函數(shù),須使
,觀察可知,
、
不符合要求,若
,則
,其在
上是減函數(shù),故B正確
當(dāng)時,
,其在
上是增函數(shù),不符合要求.
9.等價于
畫圖可知,故
.
10.如圖乙所示.設(shè),點
到直線
的距離為
,則由拋物線定義得
,
又由點在橢圓上,及橢圓第一定義得
由橢圓第二定義得,解之得
.
11.從52張牌中任意取13張牌的全部取法為;缺少某一種花色的取法為
,缺少兩種花色的取法為
,缺少三種花色的取法為
,根據(jù)容斥原理可知四種花色齊全的取法為
.
12.設(shè)中點為
,連
.由已知得
平面
,作
,交
的延長線于點
,連
.則
為所求,設(shè)
,則
,在
中可求出,則
.
二、填空題
13..
提示:可以用換元法,原不等式為也可以用數(shù)形結(jié)合法.
令,在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出這兩個函數(shù)的圖象,由圖直觀得解集.
14.12.提示:經(jīng)判斷,
為截面團的直徑,再由巳知可求出球的半徑為
.
15..提示:由于
得
解得,又
所以,當(dāng)時,
取得最小值.
16.①②④
三、解答題
17.懈:
,由正弦定理得,
又
,
,化簡得
為等邊三角形.
說明;本題是向量和三角相結(jié)合的題目,既考查了向量的基本知識,又考查了三角的有關(guān)知識,三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定,因此既可從角入手,把邊化為角;也可從邊入手,把角化為邊來判斷三角形的形狀.
18.解:(1)在第一次更換燈泡工作中,不需要更換燈泡的概率為需要更換2只燈泡的概率為
.
(2)對該盞燈來說,在第1、2次都更換了燈泡的概率為,在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為
,故所求的概率為
.
(3)當(dāng)時,
由(2)知第二次燈泡更換工作中,某盞燈更換的概率
故至少換4只燈泡的概率為
19.解:]
因為函數(shù)在
處的切線斜率為
所以
即 ①
又
得 ②
(1)函數(shù)在
時有極值
③
解式①②③得
所以.
(2)因為函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,所以導(dǎo)函數(shù)
在區(qū)間
的值恒大于或等于零.
則
得,所以實數(shù)
的取值范圍為
.
20.解:(1)連接因為
平面
,平面
平面
所以;又
為
的中點,故
為
的中點
底面
為
與底面
所成的角
在中,
所以
與底面
所成的角為45°.
(2)解法一;如圖建立直角坐標(biāo)系
則,
設(shè)
點的坐標(biāo)為
故
點
的坐標(biāo)為
故.
解法二:平面
,又
平面
在正方形中,
.
21.解:(1)設(shè)點、
的坐標(biāo)分別為
、
,點
的坐標(biāo)為
當(dāng)時,設(shè)直線
的斜率為
直線
過點
的方程為
又已知 ①
②
③
④
∴式①一式②得
⑤
③式+式④得
⑥
∴由式⑤、式⑥及
得點的坐標(biāo)滿足方程
⑦
當(dāng)時,
不存在,此時
平行于
軸,因此
的中點
一定落在
軸上,即
的坐標(biāo)為
,顯然點
(
,0)滿足方程⑦
綜上,點的坐標(biāo)滿足方程
設(shè)方程⑦所表示的曲線為
則由,
得
因為,又已知
,
所以當(dāng)時.
,曲線
與橢圓
有且只有一個交點
,
當(dāng)時,
,曲線
與橢圓
沒有交點,因為(0,0)在橢圓內(nèi),又在曲線
上,所以曲線
在橢圓內(nèi),故點
的軌跡方程為
(2)由解得曲線
與
軸交于點(0,0),(0,
)
由解得曲線
與
軸交于點(0,0).(
,0)
當(dāng),即點
為原點時,(
,0)、(0,
)與(0.0)重合,曲線
與坐標(biāo)軸只有一個交點(0,0).
當(dāng),且
,即點
不在橢圓
外且在除去原點的
軸上時,曲線
與坐標(biāo)軸有兩個交點(0,
)與(0,0),同理,當(dāng)
且
時,曲線與坐標(biāo)軸有兩個交點(
,o)、(0,0).
當(dāng),且
時,即點
不在橢圓
且不在坐標(biāo)軸上時,曲線與坐標(biāo)軸有三個交點(
,0)、(0,
)與(0,0).
22.(1)解:,又
是以首項為
,公比為
的等比數(shù)列.
.
(2)證明:設(shè)數(shù)列的公比為
,則條件等式可化為:
數(shù)列
為等差數(shù)列,
(3)證明:由題意知
①
式①得
②
式①-式②得
.
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