題目列表(包括答案和解析)
設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求曲線
處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),求
的極大值和極小值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【解析】(1)中,先利用,表示出點(diǎn)
的斜率值
這樣可以得到切線方程。(2)中,當(dāng)
,再令
,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性,進(jìn)而得到極值。(3)中,利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增,說明了
在區(qū)間
導(dǎo)數(shù)恒大于等于零,分離參數(shù)求解范圍的思想。
解:(1)當(dāng)……2分
∴
即為所求切線方程。………………4分
(2)當(dāng)
令………………6分
∴遞減,在(3,+
)遞增
∴的極大值為
…………8分
(3)
①若上單調(diào)遞增。∴滿足要求�!�10分
②若
∵恒成立,
恒成立,即a>0……………11分
時(shí),不合題意。綜上所述,實(shí)數(shù)
的取值范圍是
求圓心在直線y=-2x上,并且經(jīng)過點(diǎn)A(2,-1),與直線x+y=1相切的圓的方程.
【解析】利用圓心和半徑表示圓的方程,首先
設(shè)圓心為S,則KSA=1,∴SA的方程為:y+1=x-2,即y=x-3, ………4分
和y=-2x聯(lián)立解得x=1,y=-2,即圓心(1,-2)
∴r==
,
故所求圓的方程為:+
=2
解:法一:
設(shè)圓心為S,則KSA=1,∴SA的方程為:y+1=x-2,即y=x-3, ………4分
和y=-2x聯(lián)立解得x=1,y=-2,即圓心(1,-2) ……………………8分
∴r==
,
………………………10分
故所求圓的方程為:+
=2
………………………12分
法二:由條件設(shè)所求圓的方程為:+
=
, ………………………6分
解得a=1,b=-2, =2
………………………10分
所求圓的方程為:+
=2
………………………12分
其它方法相應(yīng)給分
已知,函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
在點(diǎn)(1,
)的切線方程;
(2)求函數(shù)在[-1,1]的極值;
(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使
>g(xo)成立,求正實(shí)數(shù)
的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。(1)中,那么當(dāng)
時(shí),
又
所以函數(shù)
在點(diǎn)(1,
)的切線方程為
;(2)中令
有
對(duì)a分類討論,和
得到極值。(3)中,設(shè)
,
,依題意,只需
那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 當(dāng)時(shí),
又
∴ 函數(shù)在點(diǎn)(1,
)的切線方程為
--------4分
(Ⅱ)令 有
①
當(dāng)即
時(shí)
|
(-1,0) |
0 |
(0, |
|
( |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故的極大值是
,極小值是
②
當(dāng)即
時(shí),
在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則
的極大值為
,無極小值。
綜上所述 時(shí),極大值為
,無極小值
時(shí) 極大值是
,極小值是
----------8分
(Ⅲ)設(shè),
對(duì)求導(dǎo),得
∵,
∴ 在區(qū)間
上為增函數(shù),則
依題意,只需,即
解得 或
(舍去)
則正實(shí)數(shù)的取值范圍是(
,
)
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