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（本小題滿(mǎn)分12分）如圖所示，在直三棱柱中,、、分別是、、的中點(diǎn)，是上的點(diǎn).

（1）求直線(xiàn)與平面所成角的正切值的最大值；

（2）求證：直線(xiàn)平面；

（3）求直線(xiàn)與平面的距離.

(第19題圖)

 

 

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．答案：A

解：依題意可知：由

顯然：但不能推出。

故選A ；

2．答案：D

解：依題意可知：設(shè)點(diǎn)，則在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為，即，又

故選D ；

3．答案：C

解：依題意可知：由是奇函數(shù)，

故選C ；

4．答案：A

解：依題意可知：由

故選A；

5．答案：C

解：如圖：函數(shù)是周期函數(shù)，T=1。

故選C；

6．答案：A

解：依題意可知：由，，

又

。

故選A ；

7．答案：B

解：依題意可知：由圖可知：

。

8．答案：A

解：依題意可知：如圖，

，

則在中，；

則在中，；

則在中，；

故選A ；

9．答案：D

解：依題意可知：因表示與同方向的單位向量，

表示與同方向的單位向量，故，而，

又（+），說(shuō)明向量與向量垂直，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知：向量所在直線(xiàn) 過(guò)向量所在線(xiàn)段中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，可逆推為等腰三角形。又與夾角為，故為等邊三角形。

故選D ；

10．答案：A

解：設(shè)，在上，，，，排除D；在上，，，，排除B與C；故選A。

11．答案：B

解法一：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可確定條直線(xiàn)；條直線(xiàn)組成對(duì)直線(xiàn)；正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可確定個(gè)面，其中12個(gè)四點(diǎn)面（6個(gè)表面，4個(gè)面對(duì)角面，2個(gè)體對(duì)角面），8個(gè)三點(diǎn)面；每個(gè)四點(diǎn)面上有條直線(xiàn)，6條直線(xiàn)組成對(duì)直線(xiàn)，12個(gè)四點(diǎn)面由12×15=180對(duì)直線(xiàn)組成；每個(gè)三點(diǎn)面上有條直線(xiàn)，3條直線(xiàn)組成對(duì)直線(xiàn)，8個(gè)三點(diǎn)面由8×3=24對(duì)直線(xiàn)組成；由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)所確定的所有直線(xiàn)中，取出兩條，這兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)的概率為；

解法二：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可確定個(gè)四面體，每個(gè)四面體中有三對(duì)異面直線(xiàn)，由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)所確定的所有直線(xiàn)中，取出兩條，這兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)的概率為；

12．答案：A

解：①正確；①中依題意可令，

當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，

又因在區(qū)間為減函數(shù)，故；

②錯(cuò)誤；②中當(dāng)

當(dāng)

③錯(cuò)誤；③中當(dāng)時(shí)，

④正確；

圓的對(duì)稱(chēng)軸為直徑所在的直線(xiàn)，故原命題正確。

故答案為：A。

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線(xiàn)上。

13．答案：

解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

直線(xiàn)PQ的方程為：即，

Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，R點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故答案為：；

14．答案：

解：依題意可知：正四棱錐S―ABCD的底面正方形ABCD在過(guò)球心O的大圓上，設(shè)球半徑為R，AC=2R=，

；

設(shè)球心O到側(cè)面SAB的距離為，連接

，，過(guò)作于，

連接SM，則，

，

又4。

故答案為：；

15．答案：10

解：依題意可知：由令，故的系數(shù)為。

故答案為：10    ；

16．答案：③

解：依題意可知：①錯(cuò)，因在上，為減函數(shù)，而在上，為增函數(shù)。

②錯(cuò)，因在上，為增函數(shù)，而在上，為減函數(shù)。

③正確。因在上，為增函數(shù)。

④錯(cuò)，因在上，為增函數(shù)，而在上，為減函數(shù)，故時(shí)，函數(shù)有極大值。

⑤錯(cuò)，因在上，為增函數(shù)，故時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極大值。

故答案為：③；

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

（17）解：，設(shè)中有個(gè)元素，顯然有，其中最大的一個(gè)是，由于是正整數(shù)集合，故且；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不符合題意；

當(dāng)時(shí)，或或，顯然只有符合題意；

當(dāng)時(shí)，設(shè)其中，

此時(shí)令 ，

若，則   ，

不符合題意；

若，由于是正整數(shù)集合，故，

    故時(shí)不符合題意；

綜上所述。

（18）解：令

故當(dāng)

（19）。答：與平面垂直的直線(xiàn)條數(shù)有1條為；

證法一：依題意由圖可知：連，

連，

；

證法二：依題意由圖建立空間直角坐標(biāo)系：

，

設(shè)與垂直的法向量為，則有：

，而，故。

（20）解：設(shè)S為勞動(dòng)村全體農(nóng)民的集合，為季度勞動(dòng)村在外打工的農(nóng)民的集合，則為季度勞動(dòng)村沒(méi)有在外打工的農(nóng)民的集合，由題意有

所以

勞動(dòng)村的農(nóng)民全年在外打工為，則

，

但，

所以，

即

。

故勞動(dòng)村至少有的農(nóng)民全年在外打工。

（21）解：①作圖進(jìn)行受力分析，如下圖示；

由向量的平行四邊形法則，力的平衡及解直角三角形等知識(shí)，得出：

② ∵，∴

故在上為減函數(shù)，

∴當(dāng)逐漸增大時(shí)，也逐漸增大。

③要最小，則為最大，∴當(dāng)為時(shí)，最小，最小值是。

④要，則，∴當(dāng)為時(shí)，。

（22）解：（Ⅰ）C的焦點(diǎn)為F（1，0），直線(xiàn)l的斜率為1，所以l的方程為

將代入方程，并整理得  

設(shè)則有  

所以夾角的大小為

（Ⅱ）由題設(shè) 得