（09年西城區(qū)抽樣理）（14分）

   已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射，點在映射f下的象為點，記作.

設，,. 如果存在一個圓，使所有的點都在這個圓內或圓上，那么稱這個圓為點的一個收斂圓. 特別地，當時，則稱點為映射f下的不動點.

    (Ⅰ) 若點在映射f下的象為點.

  1 求映射f下不動點的坐標；

  2 若的坐標為(1,2)，判斷點是否存在一個半徑為3的收斂圓，并說明理由.

(Ⅱ) 若點在映射f下的象為點,(2,3). 求證：點存在一個半徑為的收斂圓.

(理)已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,且滿足a₁=,a_n+2S_nS_n-1=0(n≥2),

(1)判斷{}是否為等差數(shù)列?并證明你的結論;

(2)求S_n和a_n;

(3)求證:S₁²+S₂²+…+S_n²≤.

(文)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n(n∈N^*),點(a_n,S_n)在直線y=2x-3n上.

(1)求證:數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列{a_n}的通項公式;

(3)數(shù)列{a_n}中是否存在成等差數(shù)列的三項?若存在,求出一組適合條件的三項;若不存在,請說明理由.

(理)設函數(shù)f(x)=1+9x6tlnx，在x=a，x=b處分別取得極大值和極小值，連接函數(shù)圖像上A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點．

(1)求實數(shù)t的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)t，使得線段AB(包括兩端點)與直線x=1相交?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

(文)已知函數(shù)f(x)=mx3-x的圖像上，以N(1，n)為切點的切線的傾斜角為．

(1)求m，n的值；

(2)是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f(x)≤k-1991對于x∈[-1，3]恒成?如果存在，請求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請說明理由。

(3)求證：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R，t＞0)．

(理)已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,且滿足a₁=,a_n+2S_nS_n-1=0(n≥2),

(1)判斷{}是否為等差數(shù)列?并證明你的結論;

(2)求S_n和a_n;

(3)求證:S₁²+S₂²+…+S_n²≤.

(文)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n(n∈N^*),點(a_n,S_n)在直線y=2x-3n上.

(1)求證:數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列{a_n}的通項公式;

(3)數(shù)列{a_n}中是否存在成等差數(shù)列的三項?若存在,求出一組適合條件的三項;若不存在,說明理由.

(理)已知:f_n(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,f_n(-1)=(-1)ⁿ·n,n=1,2,3,….

(1)求a₁、a₂、a₃;

(2)求數(shù)列{a_n}的通項公式;

(3)求證:f_n()＜1.

(文)設函數(shù)f(x)=2ax³-(6a+3)x²+12x(a∈R),

(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的極大值和極小值;

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.