設(shè)集合是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列的集合: 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

．設(shè)集合是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列的集合：
①     ② 是與無關(guān)的常數(shù).
（Ⅰ）若是等差數(shù)列，是其前n項的和，，證明：；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項為，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，試證．

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設(shè)A是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{an}的集合：
①數(shù)學(xué)公式；　　 ②an≤M．其中n∈N*，M是與n無關(guān)的常數(shù)．
（Ⅰ）若{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，a3=4，S3=18，證明：{Sn}∈A；
（Ⅱ）對于（Ⅰ）中數(shù)列{an}，正整數(shù)n1，n2，…，nt…（t∈N*）滿足7＜n1＜n2＜…＜nt＜…（t∈N*），并且使得數(shù)學(xué)公式成等比數(shù)列． 若bm=10m-nm（m∈N*），則{bm}∈A是否成立？若成立，求M的取值范圍，若不成立，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{cn}的各項均為正整數(shù)，且{cn}∈A，證明：cn≤cn+1．

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設(shè)A是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{an}的集合：
①
an+an+2
2
≤an+1；     ②an≤M．其中n∈N*，M是與n無關(guān)的常數(shù)．
（Ⅰ）若{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，a3=4，S3=18，證明：{Sn}∈A；
（Ⅱ）對于（Ⅰ）中數(shù)列{an}，正整數(shù)n1，n2，…，nt…（t∈N*）滿足7＜n1＜n2＜…＜nt＜…（t∈N*），并且使得a6，a7，an1，an2，…，ant，…成等比數(shù)列． 若bm=10m-nm（m∈N*），則{bm}∈A是否成立？若成立，求M的取值范圍，若不成立，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{cn}的各項均為正整數(shù)，且{cn}∈A，證明：cn≤cn+1．

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（2010•朝陽區(qū)二模）設(shè)A是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{an}的集合：
①
an+an+22
≤an+1；     ②an≤M．其中n∈N*，M是與n無關(guān)的常數(shù)．
（Ⅰ）若{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，a3=4，S3=18，證明：{Sn}∈A；
（Ⅱ）對于（Ⅰ）中數(shù)列{an}，正整數(shù)n1，n2，…，nt…（t∈N*）滿足7＜n1＜n2＜…＜nt＜…（t∈N*），并且使得a6，a7，an1，an2，…，ant，…成等比數(shù)列． 若bm=10m-nm（m∈N*），則{bm}∈A是否成立？若成立，求M的取值范圍，若不成立，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{cn}的各項均為正整數(shù)，且{cn}∈A，證明：cn≤cn+1．

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設(shè)集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{an}的集合：①
an+an+22
≤an+1；②an≤M，其中n∈N*，M是與n無關(guān)的常數(shù)．
（1）若{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，a3=4，S3=18，證明：{Sn}∈W
（2）設(shè)數(shù)列{bn}的通項為bn=5n-2n，且{bn}∈W，求M的取值范圍；
（3）設(shè)數(shù)列{cn}的各項均為正整數(shù)，且{cn}∈W，證明：cn＜cn+1．

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說明：

    一、本解答給出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則。

二、對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后續(xù)部分的給分，但不得超過該部分正確解答所給分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答存在較嚴(yán)重的錯誤，則不再給分。

三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

四、每題只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

C

D

A

A

B

C

B

D

二、填空題：

11．40.6,1.1  12． 13． 14．30  15．  16．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）

三、解答題：

  17．（Ⅰ），                         ①            …………………2分

    又， ∴                 ②             ……………… 4分

    由①、②得              …………………………………………………………… 6分

   （Ⅱ）  ……………………………………… 8分

                 …………………………………………………………………… 10分

     …………………………………………………………………………12分

18．（Ⅰ）設(shè)點，則，

，

，又，

，∴橢圓的方程為：    …………………………………………7分

（Ⅱ）當(dāng)過直線的斜率不存在時，點，則；

     當(dāng)過直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線的方程為，

設(shè)，由    得：

       …………………………………………10分

 

                                           ……13分

綜合以上情形，得：    ……………………………………………………14分

∴GH∥AD∥EF，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面. ……………………1分

又H為AB中點，∴EH∥PB. 又EH面EFG，PB平面EFG，

∴PB∥平面EFG.                 ………………………………4分

   （Ⅱ）取BC的中點M，連結(jié)GM、AM、EM，則GM//BD，

∴∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD所成的角.……6分

     在Rt△MAE中， ，

     同理，又GM=，………………7分

∴在△MGE中，     ………………8分

故異面直線EG與BD所成的角為arccos，                   ………………………………9分

又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB. ……………………………………10分

又∵E，F(xiàn)分別是PA，PD中點，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.   

又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB. ………………………………11分

過A作AT⊥ER于T，則AT⊥平面EFQ，

∴AT就是點A到平面EFQ的距離. ………………………………12分

設(shè)，則

    在，            …………………………13分

     解得 故存在點Q，當(dāng)CQ=時，點A到平面EFQ的距離為0.8. ……………………… 14分

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）， 

    <th id="jijfd"></th>
    
   
    
    
    
    
    
       （Ⅰ） …………1分
        設(shè)，  即，
        
                  ……………3分
        ，∴PB∥平面EFG. ………………………………………………………… 4分
       （Ⅱ）∵,             
…………………………………………5分
        ，           
……………………… 8分
    故異面直線EG與BD所成的角為arcos.           
……………………………………
9分
       （Ⅲ）假設(shè)線段CD上存在一點Q滿足題設(shè)條件，令
        ∴點Q的坐標(biāo)為（2－m，2，0）， ……………………………………10分
        而， 設(shè)平面EFQ的法向量為，則
         
        令，             ……………………………………………………12分
        又， ∴點A到平面EFQ的距離，……13分
        即，不合題意，舍去.
        故存在點Q，當(dāng)CQ=時，點A到平面EFQ的距離為0.8.          
……………………14分
    20． (Ⅰ)，         
………………2分
    當(dāng)時，，        …………4分
      
（Ⅱ）是單調(diào)增函數(shù)；   ………………6分
    由是單調(diào)減函數(shù)；      ………………8分
      
（Ⅲ）是偶函數(shù)，對任意都有成立
    *  對任意都有成立
    1°由（Ⅱ）知當(dāng)或時，是定義域上的單調(diào)函數(shù)，
    對任意都有成立
    時，對任意都有成立                  
…………10分
    2°當(dāng)時，，由
    上是單調(diào)增函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，∴對任意都有
    時，對任意都有成立              
………………12分
    綜上可知，當(dāng)時，對任意都有成立          
.……14分
    21、（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{}的公差是，則，解得
    所以               
……………………………………2分
    由=－1＜0
    得適合條件①；又，所以當(dāng)=4或5時，取得最大值20，即≤20，適合條件②。綜上所述， …………………………………………4分
    （Ⅱ）因為，所以當(dāng)n≥3時，，此時數(shù)列單調(diào)遞減；當(dāng)=1，2時，，即
    因此數(shù)列中的最大項是，所以≥7………………………………………………………8分
    （Ⅲ）假設(shè)存在正整數(shù)，使得成立，
    由數(shù)列的各項均為正整數(shù)，可得               
……………10分
    因為                
……11分
    由 
            …13分
    因為
    依次類推，可得           
……………………………………………15分
    又存在，使，總有，故有，這與數(shù)列（）的各項均為正整數(shù)矛盾！
    所以假設(shè)不成立，即對于任意,都有成立.           ………………………16分
     
    		
    
	
	
    
		
    


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