一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.
1.C
2.A
3.D
4.B
5.A 6.C 7.D 8.B
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9.0
10.
11.24;81
12.(―∞,―1)∪(2,+∞)
13.1;
14.2-|x|
注:兩空的題目,第一個(gè)空2分,第二個(gè)空3分.
三、解答題:本大題共6小題,共80分.
15.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)解:
記“該選手通過(guò)初賽”為事件A,“該選手通過(guò)復(fù)賽”為事件B,“該選手通過(guò)決賽”為事件C,
則P(A)=
,P(B)=
,P(C)=
.
那么該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率是
P=P(
)=P(A)P(
)=
×
.
5分
(Ⅱ)解:
ξ可能的取值為1,2,3.
6分
P(ξ-1)=P
=1![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image086.gif)
P(ξ=2)=P(
)=P(A)P(
)=
,
P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=
×
.
9分
ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×
11分
ξ的方差Dξ=
12分
16.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)解:
∵f
=sin2
(1+sin2
)=
4分
∴sin2
.
∵
,
∴![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image108.gif)
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)得f(x)=sin2
8分
∵0≤x≤
9分
當(dāng)2x+
=π,即x=
時(shí),cos
取得最小值-1. 11分
∴f(x)在
上的最大值為1,此時(shí)x=
12分
17.(本小題滿分14分)
解法一:
(Ⅰ)解:
連結(jié)A1D.
![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image123.gif)
∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,
∴A1B1⊥平面A1ADD1,
∴A1D是B1D在平A1ADD1上的射影,
∴∠A1DB1是直線B1D和平面A1ADD1所成的角.
2分
在RtΔB1A1D中, tanA1DB1=![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image125.gif)
∴∠A1DB1=30°,
即直線B1D和平面A1ADD1,所成角的大小是30°
4分
(Ⅱ)證明:
在Rt△A1AD和Rt△ADE中,
∵
,
∴A1AD―△ADE,
∴∠A1DA=∠AED.
∴∠A1DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90°,
∴A1D⊥AE.
7分
由(Ⅰ)知,A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影,
根據(jù)三垂線定理得,B1D⊥AE.
9分
(Ⅲ)解:
設(shè)A1D∩AE=F,連結(jié)CF.
∵CD⊥平面A1ADD1,且AE⊥DF,
根據(jù)三垂線定理得,AE⊥CF,
∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角.
11分
在Rt△ADE中,由AD?DE=AE?DF
.
在Rt△FDC中,tan DFC=![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image131.gif)
∴∠DFC=60°,
即二面角C-AE-D的大小是60°
14分
解法二:
∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,
∴DA、DC、DD1兩兩互相垂直.
如圖,以D為原點(diǎn),直線DA,DC,DD1分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
1分
![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image133.gif)
則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,
).
(Ⅰ)解:
連結(jié)A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,
∴A1B1⊥平面A1ADD1,
∴A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影,
∴∠A1DB1是直線B1D和平面A1ADD1所成的角. 4分
∵A1
, ∴![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image138.gif)
∴cos![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image140.gif)
∴∠A1DB1=30°,
即直線B1D和平面A1ADD1所成角的大小是30°,
6分
(Ⅱ)證明:
∵E是DD1的中點(diǎn) ∴E
,
∴![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image144.gif)
∵
=-1+0+1=0,
∴B1D⊥AE.
9分
(Ⅲ)解:
設(shè)A1D∩AE=F,連結(jié)CF.
∵CD⊥平面A1ADD1, 且AE⊥DF;
根據(jù)三垂線定理得,AE⊥CF,
∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角.
11分
根據(jù)平面幾何知識(shí),可求得F![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image148.gif)
∴![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image150.gif)
∴cos
,
∴二面角C-AE-D的大小是60°
14分
18.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:
∵a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且n∈N*),
∴a2=2a1+22+3=1 2分
a3=2a2+23+3=13.
4分
(Ⅱ)證明:
證法一:對(duì)于任意n
N*,
∵bn+1-bn=
[(an+1-2an)-3]=
[(2n+1+3)-3]=1,
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為
=
=0,公差為1的等差數(shù)列.
9分
證法二:對(duì)于任意n
N*,
∵2bn+1-(bn+bn+2)=2×![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image163.gif)
=
(4an+1-4an-an+2-3)
=
[2(an+1-2an)-(an+2-2an+1)-3]=
[2(2n+1+3)-(2n+2+3)-3]=0,
∴2bn+1=bn+bn+2,
∴數(shù)例{bn}是首項(xiàng)為
=0,公差為b2-b1=1的等差數(shù)列.
9分
(Ⅲ)解:
由(Ⅱ)得,
=0 + (n-1)×1,
∴an=(n-1)?2n-3(n
N*).
10分
∴Sn=-3+(1×22-3)+(2×23-3)+…+[(n-1)?2n-3],
即Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)?2n-3n.
設(shè)Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)?2n,
則2Tn=1×23+2×24+3×25+…+(n-1)?2n+1,
兩式相減得,-Tn=22+23+24+…+2n-(n-1)?2n+1=
-(n-1)?2n+1,
整理得,Tn=4+(n-2)?2n+1,
從而Sn=4+(n-2)?2n+1-3n(n
N*).
14分
19.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:
依題意,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+p,
將其代入x2=2py,消去y整理得x2-2pkx-2p2=0.
2分
設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=-2p2. 3分
將拋物線的方程改寫為y=
,求導(dǎo)得y′=![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image179.gif)
所以過(guò)點(diǎn)A的切線l1的斜率是k1=
,過(guò)點(diǎn)B的切線l2的斜率是k2=
,
故k1k2=
,所以直線l1和l2的斜率之積為定值-2. 6分
(Ⅱ)解:
設(shè)M(x,y).因?yàn)橹本€l1的方程為y-y1=k1(x-x1),即
,
同理,直線l2的方程為
,
聯(lián)立這兩個(gè)方程,消去y得
,
整理得(x1-x2)
=0,注意到x1≠x2,所以x=
.
10分
此時(shí)y=
.
12分
由(Ⅰ)知,x1+x2=2pk,所以x=
=pk
R,
所以點(diǎn)M的軌跡方程是y=-p.
14分
20.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:
f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=ex-1.
令f′(x)>0,解得x>0;令f′(x)<0,解得x<0.
從而f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最小值1.
3分
(Ⅱ)解:
因?yàn)椴坏仁絝(x)>ax的解集為P,且{x|0≤x≤2}
P,
所以對(duì)于任意x∈[0,2],不等式f(x)>ax恒成立.
4分
由f(x)>ax,得(a+1)x<ex.
當(dāng)x=0時(shí),上述不等式顯然成立,故只需考慮x∈(0,2]的情況.
5分
將(a+1)x<ex變形為a<
,
令g(x)=
-1,則g(x)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=
,
令g′(x)>0,解得x>1;令g′(x)<0,解得x<1.
從而g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得最小值e-1,
從而實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,e-1).
8分
(Ⅲ)證明:
由(Ⅰ)得,對(duì)于任意x∈R,都有ex-x≥1,即1+x≤ex.
9分
令x=
(n∈N*,i=1,2,…,n-1), 則0<1
<![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image210.gif)
∴
(i=1,2,…,n-1),
即
(i=1,2,…,n-1).
∴![](http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/5e1a814e0bffae20d37fdf3f5a8ccf17.zip/56927/高三數(shù)學(xué)試卷(理科).files/image216.gif)
∵e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1=
,
∴
14分