如圖，以D為原點，直線DA，DC，DD₁分別為x軸，

y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.             1分

D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，

B₁(1,1，).                               3分

(Ⅰ)證明：

∵=（－1，1，0），  ，

∴=0，

∴AC⊥B₁D.                                                            6分

(Ⅱ)解：

連結(jié)BD，設(shè)AC∩BD=F，連結(jié)EF.

∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

∴AC⊥FE，AC⊥FB，

∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角.                                         9分

∵底面ABCD是正方形     ∴F,

∴，                                      12分

∴二面角E-AC-B的大小是135°                                              13分

18.(本小題滿分14分)

(Ⅰ)解：

∵a₁=3，a_n=－a_n－1－2n+1(n≥2，且n∈N^*)，

∴a₂=－a₁－4+1=－6，                   2分   a₃=－a₂－6+1=1.               4分

(Ⅱ)證明：

∵

∴數(shù)列{a_n+n}是首項為a₁+1=4，公比為－1的等比數(shù)列.                          7分

∴a_n+n=4?(－1)^n－1, 即a_n=4?(－1)^n－1－n，

∴{a_n}的通項公式為a_n=4?(－1)^n－1－n(n∈N^*).                                   9分

(Ⅲ)解：

∵{a_n}的通項公式a_n=4?(－1)^n－1－n(n∈N^*)，

所以當(dāng)n是奇數(shù)時，S_n=?12分

當(dāng)n是偶數(shù)時，S_n=?(n²+n).

綜上，S_n=                                     14分

19.(本小題滿分14分)

(Ⅰ)解：

依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+，

將其代入x²=2y，消去y整理得x²－2kx－1=0.                                  2分

設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，  則x₁x₂=－1.                       3分

將拋物線的方程改寫為y=x²，求導(dǎo)得y′=x.

所以過點A的切線l₁的斜率是k₁=x₁，過點B的切線l₂的斜率是k₂=x₂，

因為k₁k₂=x₁x₂=－1，所以l₁⊥l₂.                                              6分

(Ⅱ)解：

直線l₁的方程為y－y₁=k₁(x－x₁)，即y－=x₁(x－x₁)，

同理，直線l₂的方程為y－=x₂(x－x₂)，

聯(lián)立這兩個方程，消去y得=x₂(x－x₂)－x₁(x－x₁)，

整理得(x₁－x₂)=0，注意到x₁≠x₂，所以x=.                   10分

此時)y=.                    12分

由(Ⅰ)知，x₁+x₂=2k,    所以x==k∈R，

所以點M的軌跡方程是y=.                                              14分

20.(本小題滿分14分)

(Ⅰ)解：

f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=9x²－4.

令f′(x)＞0，解得x＞，或x＜－；  令f′(x)＜0，解得－＜x＜.

從而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,；單調(diào)遞減區(qū)間為.     3分

(Ⅱ)解:

由f(x)≤0，  得－a≥3x³－4x+1.                                                4分

由(Ⅰ)得，函數(shù)y=3x³－4x+1在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

從而當(dāng)x=－時，函數(shù)y=3x³－4x+1取得最大值.                            6分

因為對于任意x∈[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立，

故－a≥，即a≤－，

從而a的最大值是－.                                                    8分

(Ⅲ)解：

當(dāng)x變化時，f(x)，f′(x)變化情況如下表：

x

f′(x)

+

0

－

0

+

f(x)

ㄊ

極大值a+

ㄋ

極小值a

ㄊ

①由f(x)的單調(diào)性，當(dāng)極大值a+＜0或極小值a＞0時，方程f(x)=0最多有一個實數(shù)根；

②當(dāng)a=－時，解方程f(x)=0，得x=－，x=,即方程f(x)=0只有兩個相異的實數(shù)根；

③當(dāng)a=時，解方程f(x)=0，得x=,x=－，即方程f(x)=0只有兩個相異的實數(shù)根.

如果方程f(x)=0存在三個相異的實數(shù)根，則解得

a∈.                                                           12分

事實上，當(dāng)a∈時，

∵f(－2)=－15+a＜－15+＜0，且f(2)，17+a＞17－＞0，

所以方程f(x)=0在內(nèi)各有一根.

綜上，若方程f(x)=0存在三個相異的實數(shù)根，則a的取值范圍是.         14分