什么是數(shù)學(xué)方法?中學(xué)數(shù)學(xué)有哪些常用的基本數(shù)學(xué)方法? 答:所謂方法.是指人們?yōu)榱诉_(dá)到某種目的而采取的手段.途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式．人們通過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐.發(fā)現(xiàn)了許多運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的手段.門路或程序．同一手段.門路或程序被重復(fù)運(yùn)用了多次.并且都達(dá)到了預(yù)期的目的.就成為數(shù)學(xué)方法．?dāng)?shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)的工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法.即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)事物的狀態(tài).關(guān)系和過(guò)程.經(jīng)過(guò)推導(dǎo).運(yùn)算與分析.以形成解釋.判斷和預(yù)言的方法． 數(shù)學(xué)方法具有以下三個(gè)基本特征:一是高度的抽象性和概括性.二是邏輯的嚴(yán)密性及結(jié)論的確定性.三是應(yīng)用的普遍性和可操作性． 數(shù)學(xué)方法在科學(xué)技術(shù)研究中具有舉足輕重的地位和作用:一是提供簡(jiǎn)潔確定的形式化語(yǔ)言.二是提供數(shù)量分析及計(jì)算的方法.三是提供邏輯推理的工具．現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)特別是電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展.與數(shù)學(xué)方法的地位和作用的強(qiáng)化正好是相輔相成． 在中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的基本數(shù)學(xué)方法.大致可以分為以下三類: (1)邏輯學(xué)中的方法．例如分析法.綜合法.反證法.歸納法.窮舉法等．這些方法既要遵重邏輯學(xué)中的基本規(guī)律和法則.又因?yàn)檫\(yùn)用于數(shù)學(xué)之中而具有數(shù)學(xué)的特色． (2)數(shù)學(xué)中的一般方法．例如建模法.消元法.降次法.代入法.圖象法(也稱坐標(biāo)法.在代數(shù)中常稱圖象法.在學(xué)生今后要學(xué)習(xí)的解析幾何中常稱坐標(biāo)法).比較法(數(shù)學(xué)中主要是指比較大小.這與邏輯學(xué)中的多方位比較不同)等．這些方法極為重要.應(yīng)用也很廣泛． (3)數(shù)學(xué)中的特殊方法．例如配方法.待定系數(shù)法.加減法.公式法.換元法.拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法(含有添加輔助元素實(shí)現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想).因式分解諸方法.以及平行移動(dòng)法.翻折法等．這些方法在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)也起著重要作用.對(duì)于某一類問(wèn)題也都是一種通法． 2.解不等式時(shí).常用的等價(jià)轉(zhuǎn)化有哪些情況? 答:設(shè)y1和y2都是x的函數(shù).那么下列各不等式等價(jià): (1) │y1│≤y2(y2≥0)-y2≤y1≤y2. │y1│＞y2(y2≥0)y1＜-y2或y1＞y2, (2) │y1│≤cy12≤c2. │y1│＞cy12＞c2, (3) y1·y2≥0y1≥0且y2≥0.或y1≤0且y2≤0. y1·y2＜0y1＞0且y2＜0.或y1＜0且y2＞0, (4) y1／y2＞0(y2≠0)y1·y2＞0. y1／y2＜0(y2≠0)y1·y2＜0． 3．怎樣正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或 的意義? 答:“或 這個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞的用法.一般有兩種解釋:一是“不可兼有 .即“a或b 是指a.b中的某一個(gè).但不是兩者．日常生活中有時(shí)采用這一解釋．例如“你去或我去 .人們?cè)诶斫馍喜粫?huì)認(rèn)為有你我都去這種可能．另一是“可兼有 .即“a或b 是指a.b中的任何一個(gè)或兩者．例如“x∈A或x∈B .是指x可能屬于A但不屬于B(“但 在這里實(shí)際上等價(jià)于另一邏輯聯(lián)結(jié)詞“且 ).x也可能不屬于A但屬于B.x還可能既屬于A又屬于B．又如在“p真或q真 中.可能只有p真.也可能只有q真.還可能p.q都為真．?dāng)?shù)學(xué)書籍中一般采用后一種解釋.運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和解數(shù)學(xué)選擇題時(shí).都要遵守這一點(diǎn).還要注意“可兼有 并不意味“一定兼有 ． 4． “p或q “p且q “非p 這三個(gè)復(fù)合命題概念后.怎樣進(jìn)行真假概括? 答:(1)對(duì)于復(fù)合命題“p或q .當(dāng)且僅當(dāng)p.q中至少有一個(gè)為真時(shí).它是真命題,當(dāng)且僅當(dāng)p.q都為假時(shí).它是假命題 (2)對(duì)于復(fù)合命題“p且q .當(dāng)且僅當(dāng)p.q都為真時(shí).它是真命題,當(dāng)且僅當(dāng)p.q中至少有一個(gè)為假時(shí).它是假命題． (3)對(duì)于復(fù)合命題“非p .當(dāng)且僅當(dāng)p為真時(shí).它是假命題,當(dāng)且僅當(dāng)p為假時(shí).它是真命題． 以上也可以利用真值表示進(jìn)行概括． 可以看出.要使學(xué)生正確理解上述概念.還要讓他們熟練掌握并會(huì)靈活運(yùn)用“至少 “最多 “同時(shí) .以及“至少有一個(gè)是 “最多有一個(gè)是 “不都是 這些詞語(yǔ)．這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一.需要長(zhǎng)期不懈地進(jìn)行訓(xùn)練.才能達(dá)到要求． 5．怎樣理解四種命題?怎樣利用反證法來(lái)理解四種命題的關(guān)系? 答:學(xué)生在初中未學(xué)過(guò)否命題和逆否命題．可以舉例來(lái)說(shuō)． 命題甲:如果∠1.∠2是對(duì)頂角.那么∠1＝∠2． 命題乙:如果∠1＝∠2.那么∠1.∠2是對(duì)頂角． 命題丙:如果∠1.∠2不是對(duì)頂角.那么∠1≠∠2． 命題丁:如果∠1≠∠2.那么∠1.∠2不是對(duì)頂角． 這里命題甲.乙互為逆命題,命題丙是把命題甲的條件.結(jié)論都加以否定后得到的.所以我們把命題丙叫做命題甲的否命題(注意讓學(xué)生把“否命題 一詞與剛學(xué)過(guò)的邏輯聯(lián)結(jié)詞“非 的使用區(qū)別開(kāi)來(lái).“非 通常只否定結(jié)論).并且命題甲.丙互為否命題,命題丁是把命題乙的條件.結(jié)論都加以否定后得到的.所以命題乙.丁互為否命題.我們把命題丁叫做命題甲的逆否命題．學(xué)生經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析.可以看出:命題丁也可以通過(guò)把命題丙的條件.結(jié)論顛倒過(guò)來(lái)而得到.所以命題丙.丁互為逆命題.我們也可以把命題丁叫做命題甲的否逆命題．命題甲的逆否命題和否逆命題相同.我們一般只用“逆否命題 一詞． 利用反證法.很容易證明:在四種命題中.原命題與逆否命題同時(shí)成立或同時(shí)不成立.逆命題與否命題同時(shí)成立或同時(shí)不成立(可以讓學(xué)生就上面的例子試一試)． 以上就是所謂“四種命題的關(guān)系 ． 6．怎樣用推出符號(hào)對(duì)“充分且不必要條件 “必要且不充分條件 和“充要條件 進(jìn)行概括? 答:(1)若pq.且p.則p是q的充分且不必要條件.q是p的必要且不充分條件, (2)若qp.且pq.則p是q的必要且不充分條件.q是p的充分且不必要條件, (3)若pq.且qp.則p是q的充要條件, (4)若pq.且┐pq ┐.則p是q的充要條件． 7．怎樣讓正確判斷“充分且不必要條件 “必要且不充分條件 “充要條件 以及“不充分且不必要條件 ? 答:這四種情況反映了條件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系.所以在判斷時(shí)應(yīng)該讓學(xué)生: (1)確定條件是什么.結(jié)論是什么, (2)嘗試從條件推導(dǎo)結(jié)論.從結(jié)論推導(dǎo)條件, (3)確定條件是結(jié)論的什么條件． 要證明命題的條件是充要的.就既要證明原命題成立.又要證明它的逆命題成立．證明原命題成立即證明條件的充分性.證明逆命題成立即證明條件的必要性． 8．如何利用已知函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判定較復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性? 答:如果函數(shù)f在區(qū)間B上具有單調(diào)性.那么在B上: +c具有相反的單調(diào)性． 當(dāng)c＞0時(shí)具有相同的單調(diào)性.當(dāng)c＜0時(shí)具有相反的單調(diào)性． 恒不為0時(shí).f具有相反的單調(diào)性． 恒為非負(fù)時(shí).f具有相反的單調(diào)性． 都是增也是增.g函數(shù).則f兩者都恒大于0時(shí)也是增(減)函數(shù).當(dāng)兩者都恒小于0時(shí)是減(增)函數(shù)． 9．什么叫做函數(shù)的奇偶性? 答:一般地.設(shè)有函數(shù)f(x).對(duì)于其定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值.如果都有f是奇函數(shù),如果都有f是偶函數(shù)． 如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù).那么稱f(x)具有奇偶性． 函數(shù)的奇偶性也是函數(shù)的整體性質(zhì)之一．這里指出以下幾點(diǎn)． (1)函數(shù)的奇偶性是針對(duì)函數(shù)的定義域講的．由于任意的x與-x都要在定義域內(nèi).所以奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．我們?cè)谂卸ê瘮?shù)是否具有奇偶性時(shí).應(yīng)先確定其定義域關(guān)于原點(diǎn)是否對(duì)稱．不對(duì)稱就沒(méi)有奇偶性(定義域?qū)ΨQ.才能使函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱)． (2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù).一定有解析式y(tǒng)＝f(x)＝0.但它的定義域可以各色各樣.所以不是惟一的．解析式不為f(x)＝0的函數(shù).不可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． 函數(shù)還具有以下性質(zhì): --兩個(gè)奇也是奇(偶)函數(shù)． --兩個(gè)函數(shù)的積.當(dāng)其奇偶性相同時(shí)為偶函數(shù).當(dāng)其奇偶性相反時(shí)為奇函數(shù)． --奇(偶)函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同(反)． --偶函數(shù)一般不存在反函數(shù),如果一個(gè)奇函數(shù)有反函數(shù).那么其反函數(shù)也是奇函數(shù)． 函數(shù)的簡(jiǎn)單方法:設(shè)f(x)是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù).則 F1) 是偶函數(shù).而 F2) 是奇函數(shù)．顯然.F1(x)+F2.所以這樣的f(x)總可以表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

材料：采訪零向量

　　W：你好！零向量．我是《數(shù)學(xué)天地》的一名記者，為了讓在校的高中生更好了解你，能不能對(duì)你進(jìn)行一次采訪呢？

　　零向量：當(dāng)然可以，我們向量王國(guó)隨時(shí)恭候大家的光臨，很樂(lè)意接受你的采訪，讓高中生朋友更加了解我，更好地為他們服務(wù)．

　　W：好的，那就開(kāi)始吧！你的名字有什么特殊的含義嗎？

　　零向量：零向量就是長(zhǎng)度為零的向量，它與數(shù)字0有著密切的聯(lián)系，所以用0來(lái)表示我．

　　W：你與其他向量有什么共同之處呢？

　　零向量：既然我是向量王國(guó)的一個(gè)成員，就具有向量的基本性質(zhì)，如既有大小又有方向，在進(jìn)行加、減法運(yùn)算時(shí)滿足交換律和結(jié)合律，還定義了與實(shí)數(shù)的積．

　　W：你有哪些值得驕傲的特殊榮耀呢？

　　零向量：首先，我的方向是不定的，可以與任意的向量平行．其次，我還有其他一些向量所沒(méi)有的特殊待遇：如我的相反向量仍是零向量；在向量的線性運(yùn)算中，我與實(shí)數(shù)0很有相似之處．

　　W：你有如此多的榮耀，那么是否還有煩惱之事呢？

　　零向量：當(dāng)然有了，在向量王國(guó)還有許多“權(quán)利和義務(wù)”卻大有把我排斥在外之意，如平行向量的定義，向量共線定理，兩向量夾角的定義都對(duì)我進(jìn)行了限制．所有這些確實(shí)給一些高中生帶來(lái)了很多苦惱，在此我向大家真誠(chéng)地說(shuō)一聲：對(duì)不起，這不是我的錯(cuò)．但我還是很高興有這次機(jī)會(huì)與大家見(jiàn)面．

　　W：OK！采訪就到這里吧，非常感謝你的合作，再見(jiàn)！

　　零向量：Bye！

閱讀上面的材料回答下面問(wèn)題．

應(yīng)用零向量時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題？

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