已知一個數列{a_n}的各項都是1或2．首項為1，且在第k個1和第k+1個1之間有2k-1個2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．記數列的前n項的和為S_n．參考：31×32=992，32×33=1056，44×45=1980，45×46=2070
（I）試問第10個1為該數列的第幾項？
（II）求a₂₀₁₂和S₂₀₁₂；
（III）是否存在正整數m，使得S_m=2012？如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由．

已知有窮數列A：a₁，a₂，…，a_n，（n≥2）．若數列A中各項都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，則稱該數列為數列．對于數列A，定義如下操作過程T：從A中任取兩項a_i，a_j，將

ai+aj

1+aiaj

的值添在A的最后，然后刪除a_i，a_j，這樣得到一個n-1項的新數列A₁（約定：一個數也視作數列）．若A₁還是數列，可繼續(xù)實施操作過程T，得到的新數列記作A₂，…，如此經過k次操作后得到的新數列記作A_k．
（Ⅰ）設A：0，

1

2

，

1

3

…請寫出A₁的所有可能的結果；
（Ⅱ）求證：對于一個n項的數列A操作T總可以進行n-1次；
（Ⅲ）設A：-

5

7

，-

1

6

，-

1

5

，-

1

4

，

5

6

，

1

2

，

1

3

，

1

4

，

1

5

，

1

6

…求A₉的可能結果，并說明理由．

已知在直角坐標系中，An(an，0)，Bn(0，bn)(n∈N*)，其中數列{a_n}，{b_n}都是遞增數列．
（1）若a_n=2n+1，b_n=3n+1，判斷直線A₁B₁與A₂B₂是否平行；
（2）若數列{a_n}，{b_n}都是正項等差數列，設四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為S_n（n∈N^*），求證：{S_n}也是等差數列；
（3）若an=2n，bn=an+b(a，b∈Z)，b1≥-12，記直線A_nB_n的斜率為k_n，數列{k_n}的前8項依次遞減，求滿足條件的數列{b_n}的個數．

（2009•湖北模擬）給出定義：在數列{a_n}中，都有

a

2 n

-

a

2 n-1

=p(n≥2，n∈N*)（ p為常數），則稱{a_n}為“等方差數列”．下列是對“等方差數列”的判斷：
（1）數列{a_n}是等方差數列，則數列{

a

2 n

}是等差數列；
（2）數列{（-1）ⁿ}是等方差數列；
（3）若數列{a_n}既是等方差數列，又是等差數列，則該數列必為常數數列；
（4）若數列{a_n}是等方差數列，則數列{a_kn}（k∈N^*，k為常數）也是等方差數列．
其中正確命題序號為．