題型1:數(shù)列概念 例1．根據(jù)數(shù)列前4項.寫出它的通項公式: (1)1.3.5.7--, (2)..., (3).... 解析:(1)=2, (2)= , (3)= . 點評:每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系.這對考生的歸納推理能力有較高的要求. 例2．數(shù)列中.已知. (1)寫出.., (2)是否是數(shù)列中的項?若是.是第幾項? 解析:(1)∵.∴. ., (2)令.解方程得. ∵.∴. 即為該數(shù)列的第15項. 點評:該題考察數(shù)列通項的定義.會判斷數(shù)列項的歸屬. 題型2:數(shù)列的遞推公式 例3．如圖,一粒子在區(qū)域上運動,在第一秒內(nèi)它從原點運動到點,接著按圖中箭頭所示方向在x軸.y軸及其平行方向上運動.且每秒移動一個單位長度. (1)設(shè)粒子從原點到達點時.所經(jīng)過的時間分別為.試寫出的通相公式, (2)求粒子從原點運動到點時所需的時間, (3)粒子從原點開始運動.求經(jīng)過2004秒后.它所處的坐標. 解析:(1) 由圖形可設(shè).當粒子從原點到達時.明顯有 - - ∴＝, . , . , , 即. (2)有圖形知.粒子從原點運動到點時所需的時間是到達點所經(jīng)過得時間 再加＝28秒. 所以秒. (3)由2004.解得.取最大得n=44. 經(jīng)計算.得＝1980<2004.從而粒子從原點開始運動.經(jīng)過1980秒后到達點.再向左運行24秒所到達的點的坐標為. 點評:從起始項入手.逐步展開解題思維.由特殊到一般.探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式.這是解答數(shù)列問題一般方法.也是歷年高考命題的熱點所在. 例4．(1)已知數(shù)列適合:..寫出前五項并寫出其通項公式, (2)用上面的數(shù)列.通過等式構(gòu)造新數(shù)列.寫出.并寫出的前5項. 解:(1) .....--., (2). ....． 點評:會根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.了解遞推公式是給出數(shù)列的又一種重要方法.能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項. 題型3:數(shù)列的應(yīng)用 例5．設(shè)平面內(nèi)有條直線.其中有且僅有兩條直線互相平行.任意三條直線不過同一點．若用表示這條直線交點的個數(shù).則= ,當時. (用表示). 答案:5. 解析:由圖B可得. 由... . 可推得∵n每增加1.則交點增加個. ∴. 點評:解決此類問題的思路是先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來處理. 例6．在某報的報道中.自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點.用適當?shù)臄?shù)填入表中空白內(nèi). 答案:140 85 解析:從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到:收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律:隨著年齡的變化.舒張壓分別增加了3毫米.2毫米.-照此規(guī)律.60歲時的收縮壓和舒張壓分別為140,85. 點評:本題以實際問題為背景.考查了如何把實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力.它不需要技能.技巧及繁雜的計算.需要有一定的數(shù)學意識.有效地把數(shù)學過程實施為數(shù)學思維活動. 題型4:等差數(shù)列的概念 例7．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和.且Sn=n2.則{an}是( ) A.等比數(shù)列.但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列.但不是等比數(shù)列 C.等差數(shù)列.而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列 答案:B, 解法一:an= ∴an=2n-1(n∈N) 又an+1-an=2為常數(shù).≠常數(shù) ∴{an}是等差數(shù)列.但不是等比數(shù)列. 解法二:如果一個數(shù)列的和是一個沒有常數(shù)項的關(guān)于n的二次函數(shù).則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列. 點評:本題主要考查等差數(shù)列.等比數(shù)列的概念和基本知識.以及靈活運用遞推式an=Sn-Sn-1的推理能力.但不要忽略a1.解法一緊扣定義.解法二較為靈活. 例8．設(shè)數(shù)列..滿足:.(n=1,2,3,-).證明:為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且(n=1,2,3,-) 證明:必要性:設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.則: ==-=0. ∴(n=1,2,3,-)成立, 又=6(n=1,2,3,-) ∴數(shù)列為等差數(shù)列. 充分性:設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.且(n=1,2,3,-). ∵--① ∴--② ①-②得: = ∵ ∴--③ 從而有--④ ④-③得:--⑤ ∵... ∴由⑤得:(n=1,2,3,-). 由此.不妨設(shè)(n=1,2,3,-).則 故--⑥ 從而--⑦ ⑦-⑥得:. 故(n=1,2,3,-). ∴數(shù)列為等差數(shù)列. 綜上所述:為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且(n=1,2,3,-). 證法二: 令An = a n+1- a n.由b n≤b n+1知a n - a n+2≤a n+1- a n+3. 從而a n+1- a n≥a n+3 - a n+2,即An≥An+2 由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3得 c n+1-c n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2).即 An+2An+1+3An+2=d2. ⑥ 由此得 An+2+2An+3+3An+2=d2. ⑦ ⑥-⑦得 (An-An+2)+2(An+1- An+3)+3(An+2- An+4)=0 ⑧ 因為An-An+2≥0.An+1- An+3≥0.An+2- An+4≥0, 所以由⑧得An-An+2=0. 于是由⑥得 4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, ⑨ 從而 2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 ⑩ 由⑨和⑩得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1= An ,即 a n+2- a n+1= a n+1- a n. 所以數(shù)列{a n}是等差數(shù)列. 點評:該題考察判斷等差數(shù)列的方法.我們要講平時積累的方法巧妙應(yīng)用.有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果. 題型5:等差數(shù)列通項公式 例9．設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列.若..則 A． B． C． D． 解析:..將代入.得.從而.選B. 點評:應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項和公差的式子.變元減少.因式就容易處理了. 例10．已知數(shù)列為等差數(shù)列.且 (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式, (Ⅱ)證明 解析:解:設(shè)等差數(shù)列的公差為d. 由即d=1. 所以即 (II)證明因為. 所以 點評:該題通過求通項公式.最終通過通項公式解釋復雜的不等問題.屬于綜合性的題目.解題過程中注意觀察規(guī)律. 題型6:等差數(shù)列的前n項和公式 例11．若一個等差數(shù)列前3項的和為34.最后3項的和為146.且所有項的和為390.則這個數(shù)列有( ) A.13項 B.12項 C.11項 D.10項 設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列.前三項的和為12.前三項的積為48.則它的首項是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和.若＝.則＝( ) A． B． C． D． 解析:(1)答案:A 設(shè)這個數(shù)列有n項 ∵ ∴ ∴n＝13 (2)答案:B 前三項和為12.∴a1+a2+a3＝12.∴a2＝＝4 a1·a2·a3＝48.∵a2＝4.∴a1·a3＝12.a1+a3＝8. 把a1.a3作為方程的兩根且a1＜a3. ∴x2-8x+12＝0.x1＝6.x2＝2.∴a1＝2.a3＝6.∴選B. (3)答案為A, 點評:本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項和公式的運用和考生分析問題.解決問題的能力. 例12．設(shè){an}為等差數(shù)列.Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知S7＝7.S15＝75.Tn為數(shù)列{}的前n項和.求Tn. 已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.b1=1.b1+b2+-+b10=100. (Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項bn, (Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的通項an=lg(1+).記Sn是數(shù)列{an}的前n項和.試比較Sn與lgbn+1的大小.并證明你的結(jié)論. 解析:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.則 Sn=na1+n(n-1)d．∴S7＝7.S15＝75. ∴即 解得a1＝-2.d＝1．∴＝a1+(n-1)d＝-2+(n-1). ∵. ∴數(shù)列{}是等差數(shù)列.其首項為-2.公差為. ∴Tn＝n2-n． 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d.由題意得 解得 ∴bn=2n-1. (Ⅱ)由bn=2n-1.知 Sn=lg(1+1)+lg(1+)+-+lg(1+) =lg［(1+1)(1+)-(1+)］. lgbn+1=lg. 因此要比較Sn與lgbn+1的大小.可先比較(1+1)(1+)-(1+)與的大小. 取n=1.有(1+1)＞. 取n=2.有(1+1)(1+)＞.-- 由此推測(1+1)(1+)-(1+)＞. ① 若①式成立.則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定:Sn＞lgbn+1. 下面用數(shù)學歸納法證明①式. (i)當n=1時已驗證①式成立. (ii)假設(shè)當n=k(k≥1)時.①式成立.即(1+1)(1+)-(1+)＞. 那么.當n=k+1時.(1+1)(1+)-(1+)［1+］＞ ·(1+)=(2k+2). ∵［(2k+2)］2-()2 ＝. ∴. 因而 這就是說①式當n=k+1時也成立. 由知①式對任何正整數(shù)n都成立. 由此證得:Sn＞lgbn+1. 評述:本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用.對一些綜合性的問題要先理清思路再行求解. 題型7:等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式 例13．設(shè){an}(n∈N*)是等差數(shù)列.Sn是其前n項的和.且S5＜S6.S6＝S7＞S8.則下列結(jié)論錯誤的是( ) A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6與S7均為Sn的最大值 等差數(shù)列{an}的前m項和為30.前2m項和為100.則它的前3m項和為( ) A.130 B.170 C.210 D.260 解析:(1)答案:C, 由S5<S6得a1+a2+a3+-+a5<a1+a2+-+a5+a6.∴a6>0. 又S6=S7.∴a1+a2+-+a6=a1+a2+-+a6+a7.∴a7=0. 由S7>S8.得a8<0.而C選項S9>S5.即a6+a7+a8+a9>02(a7+a8)>0. 由題設(shè)a7=0.a8<0.顯然C選項是錯誤的. (2)答案:C 解法一:由題意得方程組. 視m為已知數(shù).解得. ∴. 解法二:設(shè)前m項的和為b1.第m+1到2m項之和為b2.第2m+1到3m項之和為b3.則b1.b2.b3也成等差數(shù)列. 于是b1=30.b2=100-30=70.公差d=70-30=40. ∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前3m項之和S3m=b1+b2+b3=210. 解法三:取m=1.則a1=S1=30.a2=S2-S1=70.從而d=a2-a1=40. 于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210. 點評:本題考查等差數(shù)列的基本知識.及靈活運用等差數(shù)列解決問題的能力.解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題.等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中.從題給選擇支獲得的信息可知.對任意變化的自然數(shù)m.題給數(shù)列前3m項的和是與m無關(guān)的不變量.在含有某種變化過程的數(shù)學問題.利用不變量的思想求解.立竿見影. 例14．在XOY平面上有一點列P1(a1.b1).P2(a2.b2).-.Pn(an.bn).-.對每個自然數(shù)n.點Pn位于函數(shù)y=2000()x(0＜a＜10＝的圖象上.且點Pn.點(n.0)與點(n+1.0)構(gòu)成一個以Pn為頂點的等腰三角形. (Ⅰ)求點Pn的縱坐標bn的表達式, (Ⅱ)若對每個自然數(shù)n.以bn.bn+1.bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形.求a的取值范圍, 設(shè)Bn＝b1.b2-bn(n∈N).若a取(Ⅱ)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù).求數(shù)列{Bn}的最大項的項數(shù). (文)設(shè)cn＝lg(bn)(n∈N).若a取(Ⅱ)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù).問數(shù)列{cn}前多少項的和最大?試說明理由. 解析:.解:(Ⅰ)由題意.an＝n+.∴bn＝2000(). (Ⅱ)∵函數(shù)y=2000()x(0＜a＜10)遞減. ∴對每個自然數(shù)n.有bn＞bn+1＞bn+2 則以bn.bn+1.bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1＞bn. 即()2+(-1)＞0. 解得a＜-5(1+)或a＞5(-1). ∴5(-1)＜a＜10． ∵5(-1)＜a＜10. ∴a=7.bn＝2000(). 數(shù)列{bn}是一個遞減的正數(shù)數(shù)列.對每個自然數(shù)n≥2.Bn＝bnBn-1. 于是當bn≥1時.Bn≥Bn-1.當bn＜1時.Bn＜Bn-1. 因此.數(shù)列{Bn}的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn+1＜1. 由bn＝2000()≥1.得n≤20.8.∴n=20. (文)∵5(-1)＜a＜10.∴a=7.bn＝2000(). 于是cn＝lg［2000()］＝3+lg2(n+)lg0.7 數(shù)列{cn}是一個遞減的等差數(shù)列. 因此.當且僅當cn≥0.且cn+1＜0時.數(shù)列{cn}的前n項的和最大. 由cn＝3+lg2+(n+)lg0．7≥0. 得n≤20.8.∴n=20. 點評:本題主要考查函數(shù)的解析式.函數(shù)的性質(zhì).解不等式.等差.等比數(shù)列的有關(guān)知識.及等價轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

對于給定數(shù)列{cn}，如果存在實常數(shù)p，q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立，我們稱數(shù)列{cn}是“M類數(shù)列”．
（1）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，數(shù)列{an}、{bn}是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實常數(shù)p，q，若不是，請說明理由；
（2）證明：若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”，則數(shù)列{an+an+1}也是“M類數(shù)列”；
（3）若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+an+1=3t•2n（n∈N*），t為常數(shù)．求數(shù)列{an}前2009項的和．并判斷{an}是否為“M類數(shù)列”，說明理由；
（4）根據(jù)對（2）（3）問題的研究，對數(shù)列{an}的相鄰兩項an、an+1，提出一個條件或結(jié)論與“M類數(shù)列”概念相關(guān)的真命題，并探究其逆命題的真假．

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對于給定數(shù)列，如果存在實常數(shù)使得對于任意都成立，我們稱數(shù)列是 “M類數(shù)列”．

（1）若，，，數(shù)列、是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實常數(shù)，若不是，請說明理由；

（2）證明：若數(shù)列是“M類數(shù)列”，則數(shù)列也是“M類數(shù)列”；

（3）若數(shù)列滿足，，為常數(shù)．求數(shù)列前項的和．并判斷是否為“M類數(shù)列”，說明理由；

（4）根據(jù)對（2）（3）問題的研究，對數(shù)列的相鄰兩項、，提出一個條件或結(jié)論與“M類數(shù)列”概念相關(guān)的真命題，并探究其逆命題的真假．

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對于給定數(shù)列{cn}，如果存在實常數(shù)p，q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立，我們稱數(shù)列{cn}是“M類數(shù)列”．
（1）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，數(shù)列{an}、{bn}是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實常數(shù)p，q，若不是，請說明理由；
（2）證明：若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”，則數(shù)列{an+an+1}也是“M類數(shù)列”；
（3）若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+an+1=3t•2n（n∈N*），t為常數(shù)．求數(shù)列{an}前2009項的和．并判斷{an}是否為“M類數(shù)列”，說明理由；
（4）根據(jù)對（2）（3）問題的研究，對數(shù)列{an}的相鄰兩項an、an+1，提出一個條件或結(jié)論與“M類數(shù)列”概念相關(guān)的真命題，并探究其逆命題的真假．

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對于給定數(shù)列{cn}，如果存在實常數(shù)p，q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立，我們稱數(shù)列{cn}是“M類數(shù)列”．
（1）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，數(shù)列{an}、{bn}是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實常數(shù)p，q，若不是，請說明理由；
（2）證明：若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”，則數(shù)列{an+an+1}也是“M類數(shù)列”；
（3）若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+an+1=3t•2n（n∈N*），t為常數(shù)．求數(shù)列{an}前2009項的和．并判斷{an}是否為“M類數(shù)列”，說明理由；
（4）根據(jù)對（2）（3）問題的研究，對數(shù)列{an}的相鄰兩項an、an+1，提出一個條件或結(jié)論與“M類數(shù)列”概念相關(guān)的真命題，并探究其逆命題的真假．

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對于給定數(shù)列{cn}，如果存在實常數(shù)p，q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立，我們稱數(shù)列{cn}是“M類數(shù)列”．
（1）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，數(shù)列{an}、{bn}是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實常數(shù)p，q，若不是，請說明理由；
（2）證明：若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”，則數(shù)列{an+an+1}也是“M類數(shù)列”；
（3）若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+an+1=3t•2n（n∈N*），t為常數(shù)．求數(shù)列{an}前2009項的和．并判斷{an}是否為“M類數(shù)列”，說明理由；
（4）根據(jù)對（2）（3）問題的研究，對數(shù)列{an}的相鄰兩項an、an+1，提出一個條件或結(jié)論與“M類數(shù)列”概念相關(guān)的真命題，并探究其逆命題的真假．

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