題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列是首項(xiàng)為
的等比數(shù)列,且滿足
.
(1) 求常數(shù)的值和數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2) 若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、……、第
項(xiàng)、……,余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成一個(gè)新的數(shù)列
,試寫(xiě)出數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3) 在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
.是否存在正整數(shù)
,使得
?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)中解:由得
,,
又因?yàn)榇嬖诔?shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,
則即
,所以p=1
故數(shù)列為首項(xiàng)是2,公比為2的等比數(shù)列,即
.
此時(shí)也滿足,則所求常數(shù)
的值為1且
第二問(wèn)中,解:由等比數(shù)列的性質(zhì)得:
(i)當(dāng)時(shí),
;
(ii) 當(dāng)時(shí),
,
所以
第三問(wèn)假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件,則,
則(i)當(dāng)時(shí),
,
已知數(shù)列滿足
(I)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(II)若數(shù)列中
,前
項(xiàng)和為
,且
證明:
【解析】第一問(wèn)中,利用,
∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)a1+1,公比為2的等比數(shù)列,即
第二問(wèn)中,
進(jìn)一步得到得 即
即是等差數(shù)列.
然后結(jié)合公式求解。
解:(I) 解法二、,
∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)a1+1,公比為2的等比數(shù)列,即
(II)
………②
由②可得: …………③
③-②,得 即
…………④
又由④可得 …………⑤
⑤-④得
即是等差數(shù)列.
|
已知數(shù)列中,
,
,數(shù)列
中,
,且點(diǎn)
在直線
上。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前
項(xiàng)和
;
(3)若,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
;
【解析】第一問(wèn)中利用數(shù)列的遞推關(guān)系式
,因此得到數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
第二問(wèn)中,在
即為:
即數(shù)列是以
的等差數(shù)列
得到其前n項(xiàng)和。
第三問(wèn)中, 又
,利用錯(cuò)位相減法得到。
解:(1)
即數(shù)列
是以
為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列
……4分
(2)在
即為:
即數(shù)列是以
的等差數(shù)列
……8分
(3) 又
①
②
①- ②得到
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和
,數(shù)列
有
,
(1)求的通項(xiàng);
(2)若,求數(shù)列
的前n項(xiàng)和
.
【解析】第一問(wèn)中,利用當(dāng)n=1時(shí),
當(dāng)時(shí),
得到通項(xiàng)公式
第二問(wèn)中,∵ ∴
∴數(shù)列
是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,利用錯(cuò)位相減法得到。
解:(1)當(dāng)n=1時(shí),
……………………1分
當(dāng)時(shí),
……4分
又
∴
……………………5分
(2)∵ ∴
∴
……………………7分
又∵,
∴
∴數(shù)列 是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
∴
……………………9分
∴
∴ ①
②
①-②得:
∴
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