解:(1).. 又.∴數(shù)列是首項(xiàng)為.公比為的等比數(shù)列. 的結(jié)論有.即. . . (3).又由(Ⅱ)有 . 則 ( ) = =( 1-)<∴ 對(duì)任意的.. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列,且滿足.

(1)   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)   若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、……、第項(xiàng)、……,余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成一個(gè)新的數(shù)列,試寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(3) 在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在正整數(shù),使得?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】第一問(wèn)中解:由,,

又因?yàn)榇嬖诔?shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,

,所以p=1

故數(shù)列為首項(xiàng)是2,公比為2的等比數(shù)列,即.

此時(shí)也滿足,則所求常數(shù)的值為1且

第二問(wèn)中,解:由等比數(shù)列的性質(zhì)得:

(i)當(dāng)時(shí),;

(ii) 當(dāng)時(shí),,

所以

第三問(wèn)假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件,則,

則(i)當(dāng)時(shí),

,

 

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已知數(shù)列滿足(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(II)若數(shù)列,前項(xiàng)和為,且證明:

【解析】第一問(wèn)中,利用,

∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)a1+1,公比為2的等比數(shù)列,即 

第二問(wèn)中, 

進(jìn)一步得到得    即

是等差數(shù)列.

然后結(jié)合公式求解。

解:(I)  解法二、,

∴數(shù)列{}是以首項(xiàng)a1+1,公比為2的等比數(shù)列,即 

(II)     ………②

由②可得: …………③

③-②,得    即 …………④

又由④可得 …………⑤

⑤-④得

是等差數(shù)列.

     

 

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解答題

已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a,公差為b;等比數(shù)列的首項(xiàng)為b,公比為a,其中a,b∈N+,且a1<b1<a2<b2<a3

(1)

a的值;

(2)

若對(duì)于任意n∈N+,總存在m∈N+,使am+3=bn,求b的值;

(3)

在(2)中,記{cn}是所有{an}中滿足am+3=bn,m∈N+的項(xiàng)從小到大依次組成的數(shù)列,又記Sn為{cn}的前n項(xiàng)和,Tn是{an}的前n項(xiàng)和,求證:(n∈N+).

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已知數(shù)列中,,,數(shù)列中,,且點(diǎn)在直線上。

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;

(3)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和;

【解析】第一問(wèn)中利用數(shù)列的遞推關(guān)系式

,因此得到數(shù)列的通項(xiàng)公式;

第二問(wèn)中, 即為:

即數(shù)列是以的等差數(shù)列

得到其前n項(xiàng)和。

第三問(wèn)中, 又   

,利用錯(cuò)位相減法得到。

解:(1)

  即數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列

                  ……4分

(2) 即為:

即數(shù)列是以的等差數(shù)列

         ……8分

(3) 又   

   ①         ②

①-  ②得到

  

 

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已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,數(shù)列, 

(1)求的通項(xiàng);

(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】第一問(wèn)中,利用當(dāng)n=1時(shí),

        當(dāng)時(shí),

得到通項(xiàng)公式

第二問(wèn)中,∵   ∴∴數(shù)列  是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,利用錯(cuò)位相減法得到。

解:(1)當(dāng)n=1時(shí),                      ……………………1分

        當(dāng)時(shí), ……4分

        又

        ∴                            ……………………5分

(2)∵   ∴        

     ∴                 ……………………7分

     又∵,    ∴ 

     ∴數(shù)列  是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

     ∴                          ……………………9分

     ∴                        

     ∴     ①

          ②

     ①-②得:

 ∴

 

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