我們知道，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線的解析式可以是y＝ax²＋bx(a≠0)

(1)對(duì)于這樣的拋物線：當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)時(shí)，a＝________；當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m)，m≠0時(shí)，a與m之間的關(guān)系式是________．

(2)繼續(xù)探究，如果b≠0，且過原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線y＝kx(k≠0)上，請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示b；

(3)現(xiàn)有一組過原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n在直線y＝x上，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n(為正整數(shù)，且n≤12)，分別過每個(gè)頂點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為B₁，B₂，…，B_n，以線段A_nB_n為邊向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若這組拋物線中有一條經(jīng)過D_n，求所有滿足條件的正方形邊長(zhǎng)．

在解題目：“當(dāng)x＝1949時(shí)，求代數(shù)式的值”時(shí)，聰聰認(rèn)為x只要任取一個(gè)使原式有意義的值代入都有相同結(jié)果．你認(rèn)為他說(shuō)的有理嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋c的頂點(diǎn)為A(4，4)，且拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，和x軸相交于另一點(diǎn)B，以AB為一邊在直線AB的右側(cè)畫正方形ABCD．

(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)C、D的坐標(biāo)．

(2)能否將此拋物線沿著直線x＝4平移，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過正方形ABCD的另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D？若能，寫出平移后拋物線的解析式，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)若以點(diǎn)A(4，4)為圓心，r為半徑畫圓，請(qǐng)你探究：

①當(dāng)r＝________時(shí)，⊙A上有且只有一個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2；

②當(dāng)r＝________時(shí)，⊙A上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2；

③隨著的變化，⊙A上到直線BD的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也隨著變化，請(qǐng)根據(jù)⊙A上到直線BD的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論相應(yīng)的r的值或取值范圍．