已知函數(shù),且 (1) 試用含的代數(shù)式表示b,并求的單調(diào)區(qū)間, (2)令,設(shè)函數(shù)在處取得極值.記點(diǎn)M (,).N(,).P(), ,請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì).并解釋以下問(wèn)題: (I)若對(duì)任意的m (, x).線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn).試確定t的最小值.并證明你的結(jié)論, (II)若存在點(diǎn)Q(n ,f(n)), x n< m,使得線段PQ與曲線f(x)有異于P.Q的公共點(diǎn).請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍 解法一: (Ⅰ)依題意,得 由. 從而 令 21世紀(jì)教育網(wǎng) ①當(dāng)a>1時(shí), 當(dāng)x變化時(shí).與的變化情況如下表: x + - + 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 由此得.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.單調(diào)減區(qū)間為. ②當(dāng)時(shí).此時(shí)有恒成立.且僅在處.故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R ③當(dāng)時(shí).同理可得.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.單調(diào)減區(qū)間為 21世紀(jì)教育網(wǎng) 綜上: 當(dāng)時(shí).函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.單調(diào)減區(qū)間為, 當(dāng)時(shí).函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R, 當(dāng)時(shí).函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.單調(diào)減區(qū)間為. (Ⅱ)由得令得 由(1)得增區(qū)間為和.單調(diào)減區(qū)間為.所以函數(shù)在處取得極值.故M()N(). 觀察的圖象.有如下現(xiàn)象: ①當(dāng)m從-1變化到3時(shí).線段MP的斜率與曲線在點(diǎn)P處切線的斜率之差Kmp-的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù). ②線段MP與曲線是否有異于H.P的公共點(diǎn)與Kmp-的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián), ③Kmp-=0對(duì)應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn).故推測(cè):滿足Kmp-的m就是所求的t最小值.下面給出證明并確定的t最小值.曲線在點(diǎn)處的切線斜率, 線段MP的斜率Kmp 當(dāng)Kmp-=0時(shí).解得 直線MP的方程為 21世紀(jì)教育網(wǎng) 令 當(dāng)時(shí).在上只有一個(gè)零點(diǎn).可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞減.又.所以在上沒(méi)有零點(diǎn).即線段MP與曲線沒(méi)有異于M.P的公共點(diǎn). 當(dāng)時(shí).. 所以存在使得 即當(dāng)MP與曲線有異于M,P的公共點(diǎn)21世紀(jì)教育網(wǎng) 綜上.t的最小值為2. 于中的觀察.可得m的取值范圍為 解法二: (1)同解法一. (2)由得.令.得 由(1)得的單調(diào)增區(qū)間為和.單調(diào)減區(qū)間為.所以函數(shù)在處取得極值.故M().N() (Ⅰ) 直線MP的方程為 由 得 線段MP與曲線有異于M,P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在上有根,即函數(shù) 上有零點(diǎn). 因?yàn)楹瘮?shù)為三次函數(shù),所以至多有三個(gè)零點(diǎn),兩個(gè)極值點(diǎn). 又.因此, 在上有零點(diǎn)等價(jià)于在內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),即內(nèi)有兩不相等的實(shí)數(shù)根. 等價(jià)于 即 又因?yàn)?所以m 的取值范圍為(2,3) 從而滿足題設(shè)條件的r的最小值為2. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（2009福建卷理）（本小題滿分14分）

已知函數(shù),且                                   

(1) 試用含的代數(shù)式表示b,并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）令,設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)M (,)，N(,)，P(),  ,請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問(wèn)題：

（I）若對(duì)任意的m (, x)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；

（II）若存在點(diǎn)Q(n ,f(n)), x n< m,使得線段PQ與曲線f(x)有異于P、Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍（不必給出求解過(guò)程）           

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