⒈ 一元二次不等式與特殊的高次不等式解法 例1 解不等式. 分析一:利用前節(jié)的方法求解, 分析二:由乘法運(yùn)算的符號(hào)法則可知.若原不等式成立.則左邊兩個(gè)因式必須異號(hào).∴原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組:與的解集的并集.即{x|}∪}=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.書(shū)寫(xiě)時(shí)可按下列格式: 解二:∵<0或 x∈φ或-4<x<1-4<x<1. ∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 小結(jié): 一元二次不等式的代數(shù)解法:設(shè)一元二次不等式相應(yīng)的方程 的兩根為. 則, ①若 當(dāng)時(shí).得或,當(dāng)時(shí).得. ②若 當(dāng)時(shí).得,當(dāng)時(shí).得. 分析三:由于不等式的解與相應(yīng)方程的根有關(guān)系.因此可求其根并由相應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)表示出來(lái)即可求出不等式的解集. 解:①求根:令=0.解得x分別為-4.1.這兩根將x軸分為三部分:(-.-4)(1.+), ②分析這三部分中原不等式左邊各因式的符號(hào) (-.-4) (1.+) x+4 - + + x-1 - - + + - + ③由上表可知.原不等式的解集是{x|-4<x<1}. 例2:解不等式:>0, 解:①檢查各因式中x的符號(hào)均正, ②求得相應(yīng)方程的根為:-2.1.3, ③列表如下: -2 1 3 x+2 - + + + x-1 - - + + x-3 - - - + 各因式積 - + - + ④由上表可知.原不等式的解集為:{x|-2<x<1或x>3}. 小結(jié):此法叫列表法.解題步驟是: ①將不等式化為>0形式.令=0.求出各根.不妨稱(chēng)之為分界點(diǎn).一個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成兩部分.n個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成n+1部分--, ②按各根把實(shí)數(shù)分成的n+1部分.由小到大橫向排列.相應(yīng)各因式縱向排列(由對(duì)應(yīng)較小根的因式開(kāi)始依次自上而下排列), ③計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號(hào).下面是乘積的符號(hào), ④看下面積的符號(hào)寫(xiě)出不等式的解集. 練習(xí):解不等式:x>0. {x|-1<x<0或2<x<3}. 思考:由函數(shù).方程.不等式的關(guān)系.能否作出函數(shù)圖像求解 直接寫(xiě)出解集:{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3} 在沒(méi)有技術(shù)的情況下: 可大致畫(huà)出函數(shù)圖形求解.稱(chēng)之為根軸法 ①將不等式化為>0形式.并將各因式x的系數(shù)化“+ , ②求根.并在數(shù)軸上表示出來(lái), ③由右上方穿線.經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn), ④若不等式是“>0 ,則找“線 在x軸上方的區(qū)間,若不等式是“<0 ,則找“線 在x軸下方的區(qū)間. 注意:奇過(guò)偶不過(guò) 例3 解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解:①檢查各因式中x的符號(hào)均正, ②求得相應(yīng)方程的根為:-1.2.3(注意:2是二重根.3是三重根), ③在數(shù)軸上表示各根并穿線.每個(gè)根穿一次(自右上方開(kāi)始奇過(guò)偶不過(guò)).如下圖: ④∴原不等式的解集為:{x|-1<x<2或2<x<3}. 說(shuō)明:∵3是三重根.∴在C處過(guò)三次.2是二重根.∴在B處過(guò)兩次.結(jié)果相當(dāng)于沒(méi)過(guò).由此看出.當(dāng)左側(cè)fn時(shí).n為奇數(shù)時(shí).曲線在x1點(diǎn)處穿過(guò)數(shù)軸,n為偶數(shù)時(shí).曲線在x1點(diǎn)處不穿過(guò)數(shù)軸.不妨歸納為“奇過(guò)偶不過(guò) . 練習(xí):解不等式:0. 解:①將原不等式化為:20, ②求得相應(yīng)方程的根為:-2.-1.3, ③在數(shù)軸上表示各根并穿線.如圖: ④∴原不等式的解集是{x|-1x3或x=-2}. 說(shuō)明:注意不等式若帶“= 號(hào).點(diǎn)畫(huà)為實(shí)心.解集邊界處應(yīng)有等號(hào),另外.線雖不穿過(guò)-2點(diǎn).但x=-2滿足“= 的條件.不能漏掉. 2．分式不等式的解法 例4 解不等式:. 錯(cuò)解:去分母得 ∴原不等式的解集是. 解法1:化為兩個(gè)不等式組來(lái)解: ∵x∈φ或. ∴原不等式的解集是. 解法2:化為二次不等式來(lái)解: ∵. ∴原不等式的解集是 說(shuō)明:若本題帶“= .即0.則不等式解集中應(yīng)注意x-7的條件.解集應(yīng)是{x| -7<x3}. 小結(jié):由不等式的性質(zhì)易知:不等式兩邊同乘以正數(shù).不等號(hào)方向不變,不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù).不等號(hào)方向要變,分母中有未知數(shù)x.不等式兩邊同乘以一個(gè)含x的式子.它的正負(fù)不知.不等號(hào)方向無(wú)法確定.無(wú)從解起.若討論分母的正負(fù).再解也可以.但太復(fù)雜.因此.解分式不等式.切忌去分母. 解法是:移項(xiàng).通分.右邊化為0.左邊化為的形式. 例5 解不等式:. 解法1:化為不等式組來(lái)解較繁. 解法2:∵ . ∴原不等式的解集為{x| -1<x1或2x<3}. 也可以直接用根軸法求解: 練習(xí):1.課本P21練習(xí):3⑴⑵,2.解不等式. 答案:1.⑴{x|-5<x<8},⑵{x|x<-4,或x>-1/2},2.{x|-13<x<-5}. 2解不等式:.(答:{x|x0或1<x<2}) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

研究、體會(huì)一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的密切聯(lián)系。

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下列幾個(gè)命題：
①函數(shù)y=
x2-1
+
1-x2
是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；
②“
a＞0
△=b2-4ax≤0
”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為R”的充要條件；
③設(shè)函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
④若函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數(shù)，則φ=
π
2
+kπ（k∈Z）；⑤已知x∈（0，π），則y=sinx+
2
sinx
的最小值為2
2
．
其中正確的有
②④
②④
．

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以函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看，一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集，就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a＞0)在x軸上方的點(diǎn)的　　　　的集合，而一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的　　　　.因此，一般而言，要解一元二次不等式，只要先解相應(yīng)的一元二次方程即可.

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一元二次不等式的解集與一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系分類(lèi)列表如下:

約定:Δ=b2-4ac,a≠0,x1＜x2.?

Δ的符號(hào)

a的符號(hào)

 

ax2+bx+c＞0

ax2+bx+c＜0

解　集

圖　象

解　集

圖　象

Δ＜0

 

a＞0

 

 

 

 

a＜0

 

 

 

 

Δ=0

 

a＞0

 

 

 

 

a＜0

 

 

 

 

Δ＞0

 

a＞0

 

 

 

 

a＜0

 

 

 

 

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已知一元二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，其中一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），且當(dāng)0＜x＜c時(shí)，恒有f（x）＞0．
（1）當(dāng)a=1，c=
12
時(shí)，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為8，求a的取值范圍；
（4）若不等式m2-2km+1+b+ac≥0對(duì)所有k∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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