題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令
.
當(dāng)時
單調(diào)遞減;當(dāng)
時
單調(diào)遞增,故當(dāng)
時,
取最小值
于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)
. �、�
令則
當(dāng)時,
單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
單調(diào)遞減.
故當(dāng)時,
取最大值
.因此,當(dāng)且僅當(dāng)
時,①式成立.
綜上所述,的取值集合為
.
(Ⅱ)由題意知,令
則
令,則
.當(dāng)
時,
單調(diào)遞減;當(dāng)
時,
單調(diào)遞增.故當(dāng)
,
即
從而,
又
所以因為函數(shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在
使
即
成立.
【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值
對一切x∈R,f(x)
1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線
在點
處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意
恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
第一問中,利用當(dāng)時,
.
因為切點為(
),
則
,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即
即可。
Ⅰ)當(dāng)時,
.
,
因為切點為(),
則
,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即
. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因為,所以
恒成立,
故在
上單調(diào)遞增,
……12分
要使恒成立,則
,解得
.……15分
解法二:
……7分
(1)當(dāng)時,
在
上恒成立,
故在
上單調(diào)遞增,
即
.
……10分
(2)當(dāng)時,令
,對稱軸
,
則在
上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即
時,
在
上恒成立,
所以在
單調(diào)遞增,
即
,不合題意,舍去
②當(dāng)時,
,
不合題意,舍去 14分
綜上所述:
(2006江西九校模擬)請閱讀下列命題:
A.直線與橢圓
總有兩個交點;
B.的圖象可由f(x)=2sin3x按向量
平移得到;
C.在R上連續(xù)的函數(shù)f(x)若是增函數(shù),則對于任意,均有,
成立;
D.拋物線(a≠0)的焦點坐標(biāo)是(
,0).
以上4個命題中,真命題是________(按照原順序?qū)懗鏊姓婷}的代號).
① 直線y=kx+1與橢圓總有兩個交點;
② f(x)=2sin(3x-)的圖像可由f(x)=2sin3x按向量a=(-
,0)平移得到;
③ 在R上連續(xù)的函數(shù)f(x)若是增函數(shù),則對于任意x0∈ R,均有(x0)>0成立;
④ 拋物線x=ay2(a≠0)的焦點坐標(biāo)是(,0);
以上4個命題中,真命題是____________(寫出所有真命題的編號).
本題有(1).(2).(3)三個選做題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題計分.作答時,先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑,并將所選題號填入括號中.
(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換選做題
已知矩陣A=有一個屬于特征值1的特征向量
.
(Ⅰ) 求矩陣A;
(Ⅱ) 矩陣B=,點O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求
在矩陣AB的對應(yīng)變換作用下所得到的
的面積.
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題
在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的參數(shù)方程為
,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程;(Ⅱ)判斷曲線
與曲線
的交點個數(shù),并說明理由.
(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講選做題
已知函數(shù),不等式
在
上恒成立.
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)記的最大值為
,若正實數(shù)
滿足
,求
的最大值.
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