7．恒成立問題 例7:當(dāng)具有什么關(guān)系時.二次函數(shù)的函數(shù)值恒大于零?恒小于零? 變式1:已知函數(shù) f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) ． (I)若函數(shù) f (x) 的定義域為 R.求實數(shù) a 的取值范圍, a>1 (II)若函數(shù) f (x) 的值域為 R.求實數(shù) a 的取值范圍． [0,1] 【查看更多】

 

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已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值

于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　�、�

令則

當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

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精英家教網(wǎng)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，點(diǎn)M、N分別是CC1、BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在線段A1B1上，且滿足
A1P
=λ
A1B1
．
（1）求二面角M-AB-C的余弦值；
（2）求證：PN⊥AM恒成立；
（3）當(dāng)λ=1時，線段AB上是否存在Q使得VP-AQN=
1
2
VP-AMN，若存在，求出點(diǎn)Q的位置，若不存在，請說明理由．

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已知f（x）=ax2+4x+1（a＜0），對于給定的負(fù)數(shù)a，存在一個最大的正數(shù)t，在區(qū)間[0，t]上，|f（x）|≤3恒成立．
（1）當(dāng)a=-1時，求t的值；           
（2）求t關(guān)于a的表達(dá)式g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

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已知函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=ax+
a-1
x
+1（a∈R），F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）．
（1）是否存在實數(shù)a，使以F（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x0，y0）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤1恒成立？
（2）當(dāng)a≤
1
2
時，討論F（x）的單調(diào)性．

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（2012•宿州一模）已知m為實常數(shù)，設(shè)命題p：函數(shù)f(x)=ln(
1+x2
+x)-mx在其定義域內(nèi)為減函數(shù)；命題q：x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個實根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實數(shù)a∈[-1，1]恒成立．
（1）當(dāng)p是真命題，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)“p或q”為真命題，“p且q”為假命題時，求m的取值范圍．

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