(2)設(shè)點為橢圓上不同于的一個動點.直線與橢圓右準線相交于兩點.在x軸上是否存在點Q.使得.若存在.求出點Q的坐標.若不存在.說明理由. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
3
，它的上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線AF1，AF2分別交橢圓于點B，C．
（1）求證直線BO平分線段AC；
（2）設(shè)點P（m，n）（m，n為常數(shù)）在直線BO上且在橢圓外，過P的動直線l與橢圓交于兩個不同點M，N，在線段MN上取點Q，滿足
MP
NP
=
MQ
QN
，試證明點Q恒在一定直線上．

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已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，且過雙曲線的頂點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）命題：“設(shè)、是雙曲線上關(guān)于它的中心對稱的任意兩點， 為該雙曲線上的動點，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值”．試類比上述命題，寫出一個關(guān)于橢圓的類似的正確命題，并加以證明和求出此定值；

（3）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于方程（，不同時為負數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）.

 

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已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，且過雙曲線的頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）命題：“設(shè)、是雙曲線上關(guān)于它的中心對稱的任意兩點， 為該雙曲線上的動點，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值”．試類比上述命題，寫出一個關(guān)于橢圓的類似的正確命題，并加以證明和求出此定值；
（3）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于方程（，不同時為負數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）.

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已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1   (a＞b＞0)的離心率為
3
3
，連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為2
6
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（3）設(shè)O為坐標原點，取C2上不同于O的點S，以O(shè)S為直徑作圓與C2相交另外一點R，求該圓面積的最小值時點S的坐標．

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已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
3
，它的上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線AF1，AF2分別交橢圓于點B，C．
（1）求證直線BO平分線段AC；
（2）設(shè)點P（m，n）（m，n為常數(shù)）在直線BO上且在橢圓外，過P的動直線l與橢圓交于兩個不同點M，N，在線段MN上取點Q，滿足
MP
NP
=
MQ
QN
，試證明點Q恒在一定直線上．
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一、選擇題：

1. C    2. D     3. A   4 . C   5. C     6. B   7. C  8. B    9. D  10. B

二、填空題：

11. －13      12.         13.  100π    14.    15. 0

三、解答題：

16. (1) f(x)=(+)2+sin 2x=3cos2x+sin2x+sin2x=2cos(2x－)+2     

      函數(shù)f(x)的最小值是0，f(x)的最大值是

  (2) －1<t<

17．（1）一次摸獎從個球中任取兩個，有種方法。它們是等可能的，其中兩個球的顏色不同的方法有種，一次摸獎中獎的概率                                   ……6分

    （2）設(shè)每次摸獎中獎的概率為，三次摸獎中（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率是，

         因而在上為增函數(shù)，

在上為減函數(shù)，                                   ……9分

（用重要不等式確定p值的參照給分）

∴當時取得最大值，即，解得或（舍去），則當時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率最大. ……12分

18．【方法一】證明：在線段BC1上取中點F，連結(jié)EF、DF

則由題意得EF∥DA1，且EF=DA1，

∴四邊形EFDA1是平行四邊形

∴A1E∥FD，又A1E平面BDC1，F(xiàn)D平面BDC1

∴A1E∥平面BDC1                              …6分

(2)由A1E⊥B1C1，A1E⊥CC1，得A1E⊥平面CBB1C1，過點E作

EH⊥BC1于H，連結(jié)A1H，則∠A1HE為二面角A1－BC1－B1的平面角        …8分

在Rt△BB1C1中，由BB1=8，B1C1=4，得BC1邊上的高為，∴EH=，

又A1E=2,∴tan∠A1HE==

∴二面角A1－BC1－B1為arctan                     …12分

【方法二】建立如圖所示的空間直角坐標系，題意知B(－2,0,0),

D(2,40),A1(2,8,0), C1(0,8,2)，B1(－2,8,0), E(－1,8,),

=(－4,－4,0), =(－2,4,2),=(－3,0, ),

=(－4,－8, 0), =(－2,0, 2),=(0,8,0),

=(2,8, 2).                                                   

(1)證明：∵=2(+)∴A1E∥平面BDC1                                       …6分

(2)設(shè)=（x,y,1）為平面A1BC1的一個法向量，則，且，即解得∴=（,,1），同理，設(shè)=（x,y,1）為平面B1BC1的一個法向量，則，且，即解得∴=（－,0,1），∴cos<,>==－

∴二面角A1－BC1－B1為arccos.                                      …12分

 

19. (1)由題意，知a=2c，=4，解得a=2,c=1,∴b=，故橢圓方程為 …5分

(2)設(shè)P(2cosθ, sinθ),M(4,m),N(4,n),則A(－2,0),B(2,0),

由A、P、M三點共線，得m=…7分

由B、P、N三點共線，得n=,           …9分

設(shè)Q(t,0)，則由得

 (t－4)(t－4)+(0－)(0－)=0,

整理得：(t－4)2－9=0      解得t=1或t=7

∴Q點的坐標是(7,0)或(1,0).                   …12分

20．20.解：（1）

6ec8aac122bd4f6e

（2）

 6ec8aac122bd4f6e

  6ec8aac122bd4f6e

21.解： （1）∵，

由題設(shè)可知：即sinθ≥1    ∴sinθ=1.      …4分

從而a= ,∴f(x)= x3+x2－2x+c,而又由f(1)= 得c=.

∴f(x)= x3+x2－2x+即為所求.                                …6分

(2)由=（x+2）（x－1），易知f(x)在(－∞,－2)及(1,+∞)上均為增函數(shù)，在(－2,1)上為減函數(shù).           …8分

①當m＞1時，f(x)在[m,m+3]上遞增,故f(x)max=f(m+3), f(x)min=f(m)

由f(m+3)－f(m)= (m+3)3+(m+3)2－2(m+3)－m3－m2+2m=3m2+12m+≤，

得－5≤m≤1.這與條件矛盾，故                    …10分

② 當0≤m≤1時，f(x)在[m,1]上遞增, 在[1,m+3]上遞增

∴f(x)min=f(1), f(x)max=max{ f(m),f(m+3) },

又f(m+3)－f(m)= 3m2+12m+=3(m+2)2－＞0(0≤m≤1)

∴f(x)max= f(m+3)∴|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min= f(m+3)－f(1)≤f(4)－f(1)= 恒成立.    …12分

故當0≤m≤1時，原不等式恒成立.綜上，存在m且m∈[0,1]合題意.                      …13分

 

 


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