題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對任意
,
,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中,若對任意不等式
恒成立,問題等價于
只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是
......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
........4分
(II)若對任意不等式
恒成立,
問題等價于,
.........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點,這個極小值是唯一的極值點,
故也是最小值點,所以; ............6分
當(dāng)b<1時,;
當(dāng)時,
;
當(dāng)b>2時,;
............8分
問題等價于 ........11分
解得b<1 或 或
即
,所以實數(shù)b的取值范圍是
設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時,求曲線
處的切線方程;
(2)當(dāng)時,求
的極大值和極小值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍.
【解析】(1)中,先利用,表示出點
的斜率值
這樣可以得到切線方程。(2)中,當(dāng)
,再令
,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性,進(jìn)而得到極值。(3)中,利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增,說明了
在區(qū)間
導(dǎo)數(shù)恒大于等于零,分離參數(shù)求解范圍的思想。
解:(1)當(dāng)……2分
∴
即為所求切線方程�!�4分
(2)當(dāng)
令………………6分
∴遞減,在(3,+
)遞增
∴的極大值為
…………8分
(3)
①若上單調(diào)遞增�!酀M足要求�!�10分
②若
∵恒成立,
恒成立,即a>0……………11分
時,不合題意。綜上所述,實數(shù)
的取值范圍是
已知函數(shù).(
)
(1)若在區(qū)間
上單調(diào)遞增,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方,求
的取值范圍.
【解析】第一問中,首先利用在區(qū)間
上單調(diào)遞增,則
在區(qū)間
上恒成立,然后分離參數(shù)法得到
,進(jìn)而得到范圍;第二問中,在區(qū)間
上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價于
在區(qū)間
上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間
上恒成立. …………3分
即,而當(dāng)
時,
,故
.
…………5分
所以.
…………6分
(2)令,定義域為
.
在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價于
在區(qū)間
上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令
,得極值點
,
,
當(dāng),即
時,在(
,+∞)上有
,此時
在區(qū)間
上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有
,不合題意;
當(dāng),即
時,同理可知,
在區(qū)間
上遞增,
有,也不合題意;
…………11分
② 若,則有
,此時在區(qū)間
上恒有
,從而
在區(qū)間
上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足
,
由此求得的范圍是
. …………13分
綜合①②可知,當(dāng)時,函數(shù)
的圖象恒在直線
下方.
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有 一項是符合題目要求的。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空題:(本大題共5個小題,每小題5分,共25分,)
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答題:
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