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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，

    D、E分別為棱AB、BC的中點， M為棱AA1­上的點，二面角M―DE―A為30°.

   （1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

   （2）求點C到平面MDE的距離。

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(本小題滿分12分)某校高2010級數(shù)學培優(yōu)學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。

（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?

（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?

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(本小題滿分12分)

某廠有一面舊墻長14米,現(xiàn)在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為元,經(jīng)過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?

 

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(本小題滿分12分)

已知a,b是正常數(shù), a≠b, x，y(0,＋∞).

   (1)求證:≥,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

   (2)利用(1)的結論求函數(shù)的最小值,并指出取最小值時相應的x 的值.

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(本小題滿分12分)

已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋b，y=－ka＋b (kR).

   (1)若t=1,且x∥y,求k的值；

   (2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.

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一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分；每個小題給出四個選項，只有一項符合要求）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

B

D

B

B

B

A

D

二、填空題（本大題共5個小題，每小題5分，共25分）。

11、；12、；13、；14、（）；15、①③④

三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答題應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）.

16.解：（1）經(jīng)過各交叉路口遇到紅燈，相當于獨立重復試驗，∴恰好遇到3次紅燈概率為……………………………………………………（6分）

   （2）記“經(jīng)過交叉路口遇到紅燈”事件為A，張華在第1、2個交叉路口未遇到紅燈，在第3個交叉路口遇到紅燈的概率為：

………………………………………………………（12分）

17.解：（1）∵

∴

又，∴　……………………………………………………2分

又的等比中項為2，∴

而，∴，∴，…………………………………4分

∴，

∴………………………………………………………6分

（2）……………………………………………………8分

由∴

∴或………………………………………………………………10分

故　　………………………………………………………12分

18.（1）解：由得

∵

 

∴

∴

∴    ∴ 

    ∴……………………………………………8分

（2）

……………………12分

19.解法一（幾何法）

（1）證明：∵E是CD中點

∴ED=AD=1

∴∠AED=45°

同理∠CEB=45°

∴∠BEA=90°  ∴EB⊥EA

∵平面D1AE⊥平面ABCE

∴EB⊥平面D1AE，AD1平面D1AE

∴EB⊥AD1……4分

（2）設O是AE中點，連結OD1，因為平面

　　過O作OF⊥AB于F點，連結D1F，則D1F⊥AB，∴∠D1FO就是二面角D1-AB-E的平面角.

　　在Rt△D1OF中,D1O=,OF=

∴

∴,即二面角D1-AB-E等于………………………9分

（3）延長FO交CD于G，過G作GH⊥D1F于H點，

∵AB⊥平面D1FG  ∴GH⊥平面D1BA，

∵CE//AB   ∴CE//平面D1BA.

∴C到平面D1BA的距離等于GH.

又D1F=

∵FG?D1O=D1F?GH

∴GH=　　即點　　　………………………13分　

另解：在Rt△BED1中，BD1=. 又AD1=1，AB=2

∴   ∴∠BD1A=90°  ∴

設點C到平面ABD1的距離為h　則

∴  

∴…………………………………13分

解法二：（向量法）

（1）證明：取AE的中點O，AB的中點F，連結D1O、OF，則OF//BE。

∵　DE=DA=1  ∴∠AED=45°

 同理∠BEC=45° ∴∠BEA=90° ∴BE⊥EA  ∴OF⊥AE 

由已知D1O⊥EA 

又平面O1AE⊥平面ABCE，∴D1O⊥平面ABCE，以O為坐標原點，OF、OA、OD1所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系。則B（），E（），D1（），A（），C（）

∴?=（）?（）=0

∴ ………………………………………………4分

（2）解：設平面ABD1的一個法向量為

則

令，則y=1，z=1

∴  …………………………………………………………………6分

∵ OD1­⊥平面ABCE.

∴是平面ABE的一個法向量.

∴即二面角D1-AB-E等于.  ………………………9分

（3）設點C到平面ABD1的距離為d，

則……………………………………………………………13分

20.解：（1）因為在區(qū)間（，-2]上單調遞增，在區(qū)間[-2，2]上單調遞減，所以方程f′(x)的兩根滿足，…………2分

由，得，所以，而，故b=0………………4分

則,從而

故……………………………………………………………………6分

（2）對任意的t1,t2[m-2,m],不等式恒成立，等價于在區(qū)間[m-2,m]上，當0＜m2時，[m-2,m][ -2,2]，所以在區(qū)間[m-2,m]上單調遞減，

∴， ……………………………………………9分

解得　……………………………………………………………………11分

又，∴，∴m的最小值是　……………………………………13分

21.解：（1）當AC垂直于x軸時，  由橢圓定義，有

∴，　　………………………………………………………………2分

在Rt△AF1F2­中，

∴  ∴  ∴…………………………………………4分

（2）由得：∴

∴  ∴  ∴橢圓方程為

即   設,,

(i)若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為

∴  代入橢圓方程有：

∵  ∴

由韋達定理得：所以 ………………………8分

于是 同理可得：

故……………………………………………………………………12分

（ii）若直線AC⊥x軸，，，，這時，

綜上可知，是定值6　　…………………………………………………………13分

 


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