（本小題10分）

已知圓C過(guò)點(diǎn)M（0，-2）、N（3，1），且圓心C在直線(xiàn)x+2y+1=0上.

   （1）求圓C的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)P（2，0）的直線(xiàn)l垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（本小題滿(mǎn)分10分）已知圓C的圓心在直線(xiàn)y=x+1上，且過(guò)點(diǎn)A（1，3），與直線(xiàn)x+2y-7=0相切.

  （1）求圓C的方程；

  （2）設(shè)直線(xiàn)：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

  （3）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，              若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 

設(shè)橢圓 ：（）的一個(gè)頂點(diǎn)為，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率 ，過(guò)橢圓右焦點(diǎn) 的直線(xiàn)  與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線(xiàn) ，使得 ，若存在，求出直線(xiàn)  的方程；若不存在，說(shuō)明理由；

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。（1）中橢圓的頂點(diǎn)為，即又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714546570844292_ST.files/image015.png">，得到，然后求解得到橢圓方程（2）中，對(duì)直線(xiàn)分為兩種情況討論，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，聯(lián)立方程組，結(jié)合得到結(jié)論。

解：（1）橢圓的頂點(diǎn)為，即

，解得， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 --------4分

（2）由題可知,直線(xiàn)與橢圓必相交.

①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意．                    --------5分

②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)存在直線(xiàn)為，且，.

由得，       ----------7分

，，               

   = 

所以，                               ----------10分

故直線(xiàn)的方程為或 

即或

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)是，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線(xiàn)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；           (2)求直線(xiàn)l的方程．

【解析】（1）中利用點(diǎn)F₁到直線(xiàn)x＝－的距離為可知－＋＝.得到a²＝4而c＝，∴b²＝a²－c²＝1.

得到橢圓的方程。（2）中，利用，設(shè)出點(diǎn)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．，借助于向量公式再利用 A、B在橢圓＋y²＝1上， 得到坐標(biāo)的值，然后求解得到直線(xiàn)方程。

解:(1)∵F₁到直線(xiàn)x＝－的距離為，∴－＋＝.

∴a²＝4而c＝，∴b²＝a²－c²＝1.

∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴所求橢圓的方程為＋y²＝1.……4分

(2)設(shè)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．由第(1)問(wèn)知

,

∴……6分

∵A、B在橢圓＋y²＝1上，

∴……10分

∴l(xiāng)的斜率為＝.

∴l(xiāng)的方程為y＝(x－)，即x－y－＝0.

（05年湖北卷）（12分）

設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).

     （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線(xiàn)AB的方程；

（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由.

        （此題不要求在答題卡上畫(huà)圖）