在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，一條準(zhǔn)線方程為x=4．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M，設(shè)直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下頂點(diǎn)為S，T點(diǎn)E在橢圓上且異于S，T兩點(diǎn)，直線SE與TE的斜率之積為-4O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓以F₁（0，-

3

）和F₂（0，

3

）為焦點(diǎn)，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，且向量

OM

=

OA

+

OB

求：點(diǎn)M的軌跡方程及|OM|的最小值．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓C：

x2

4

+y2=1的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點(diǎn)M、N；
（I）設(shè)直線AP、BP的斜率分別為k₁，k₂求證：k₁•k₂為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．