題目列表(包括答案和解析)
設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為
,點(diǎn)
在橢圓上且異于
兩點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)若直線與
的斜率之積為
,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線
的斜率
滿足
【解析】(1)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意,有
①
由,得
,
由,可得
,代入①并整理得
由于,故
.于是
,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
.
由條件得消去
并整理得
②
由,
及
,
得.
整理得.而
,于是
,代入②,
整理得
由,故
,因此
.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
.
由P在橢圓上,有
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">,,所以
,即
③
由,
,得
整理得
.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
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