題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令
.
當(dāng)時(shí)
單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí)
單調(diào)遞增,故當(dāng)
時(shí),
取最小值
于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)
. �、�
令則
當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞增;當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),
取最大值
.因此,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí),①式成立.
綜上所述,的取值集合為
.
(Ⅱ)由題意知,令
則
令,則
.當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞增.故當(dāng)
,
即
從而,
又
所以因?yàn)楹瘮?shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在
使
即
成立.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值
對(duì)一切x∈R,f(x)
1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合;第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
已知函數(shù)在
取得極值
(1)求的單調(diào)區(qū)間(用
表示);
(2)設(shè),
,若存在
,使得
成立,求
的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)利用
根據(jù)題意在
取得極值,
對(duì)參數(shù)a分情況討論,可知
當(dāng)即
時(shí)遞增區(qū)間:
遞減區(qū)間:
,
當(dāng)即
時(shí)遞增區(qū)間:
遞減區(qū)間:
,
第二問(wèn)中, 由(1)知:
在
,
,
在
從而求解。
解:
…..3分
在
取得極值,
……………………..4分
(1) 當(dāng)即
時(shí) 遞增區(qū)間:
遞減區(qū)間:
,
當(dāng)即
時(shí)遞增區(qū)間:
遞減區(qū)間:
,
………….6分
(2) 由(1)知:
在
,
,
在
……………….10分
, 使
成立
得:
已知橢圓的離心率為
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線
相切.
(I)求橢圓的方程;
(II)若過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線與橢圓
相交于兩點(diǎn)
,設(shè)
為橢圓上一點(diǎn),且滿足
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)
<
時(shí),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
第一問(wèn)中,利用
第二問(wèn)中,利用直線與橢圓聯(lián)系,可知得到一元二次方程中,可得k的范圍,然后利用向量的
<
不等式,表示得到t的范圍。
解:(1)由題意知
解析:由題意知
當(dāng)-2≤x≤1時(shí),f(x)=x-2,
當(dāng)1<x≤2時(shí),f(x)=x3-2,
又∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2在定義域上都為增函數(shù),
∴f(x)的最大值為f(2)=23-2=6.
答案:C
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