題目列表(包括答案和解析)
函數(shù)的定義域為(0,1](a為實數(shù))
(1)當a=-1時,求函數(shù)y=f(x)的值域;
(2)若函數(shù)y=f(x)在定義域上是減函數(shù),求a的取值范圍;
(3)求函數(shù)y=f(x)在(0,1]上的最大值及最小值,并求出此時x的值.
若函數(shù)同時滿足下列條件,(1)在D內為單調函數(shù);(2)存在實數(shù)
,
.當
時,
,則稱此函數(shù)為D內的等射函數(shù),設
則:
(1) 在(-∞,+∞)的單調性為 (填增函數(shù)或減函數(shù));(2)當
為R內的等射函數(shù)時,
的取值范圍是
.
若函數(shù)同時滿足下列條件,(1)在D內為單調函數(shù);(2)存在實數(shù)
,
.當
時,
,則稱此函數(shù)為D內的等射函數(shù),設
則:
(1) 在(-∞,+∞)的單調性為 (填增函數(shù)或減函數(shù));(2)當
為R內的等射函數(shù)時,
的取值范圍是 .
設函數(shù).
(Ⅰ) 當時,求
的單調區(qū)間;
(Ⅱ) 若在
上的最大值為
,求
的值.
【解析】第一問中利用函數(shù)的定義域為(0,2),
.
當a=1時,所以
的單調遞增區(qū)間為(0,
),單調遞減區(qū)間為(
,2);
第二問中,利用當時,
>0, 即
在
上單調遞增,故
在
上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解:函數(shù)的定義域為(0,2),
.
(1)當時,
所以
的單調遞增區(qū)間為(0,
),單調遞減區(qū)間為(
,2);
(2)當時,
>0, 即
在
上單調遞增,故
在
上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
設函數(shù),其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)記曲線在點
(其中
)處的切線為
,
與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
,求
的最大值.
【解析】第一問利用由已知,所以
,
由,得
,
所以,在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調遞減;
在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調遞增;
第二問中,因為,所以曲線
在點
處切線為
:
.
切線與
軸的交點為
,與
軸的交點為
,
因為,所以
,
, 在區(qū)間
上,函數(shù)
單調遞增,在區(qū)間
上,函數(shù)
單調遞減.所以,當
時,
有最大值,此時
,
解:(Ⅰ)由已知,所以
,
由
,得
, 所以,在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調遞減;
在區(qū)間上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調遞增;
即函數(shù)的單調遞減區(qū)間為
,單調遞增區(qū)間為
.
(Ⅱ)因為,所以曲線
在點
處切線為
:
.
切線與
軸的交點為
,與
軸的交點為
,
因為,所以
,
, 在區(qū)間
上,函數(shù)
單調遞增,在區(qū)間
上,函數(shù)
單調遞減.所以,當
時,
有最大值,此時
,
所以,的最大值為
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