題目列表(包括答案和解析)
已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓
的離心率為
,且經(jīng)過點
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存過點(2,1)的直線
與橢圓
相交于不同的兩點
,滿足
?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為
,由題意得
解得
第二問若存在直線滿足條件的方程為
,代入橢圓
的方程得
.
因為直線與橢圓
相交于不同的兩點
,設(shè)
兩點的坐標分別為
,
所以
所以.解得。
解:⑴設(shè)橢圓的方程為
,由題意得
解得,故橢圓
的方程為
.……………………4分
⑵若存在直線滿足條件的方程為
,代入橢圓
的方程得
.
因為直線與橢圓
相交于不同的兩點
,設(shè)
兩點的坐標分別為
,
所以
所以.
又,
因為,即
,
所以.
即.
所以,解得
.
因為A,B為不同的兩點,所以k=1/2.
于是存在直線L1滿足條件,其方程為y=1/2x
已知數(shù)列的前
項和為
,且
(
N*),其中
.
(Ⅰ) 求的通項公式;
(Ⅱ) 設(shè) (
N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關(guān)系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到
,②由于
,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當時,由
得
. ……2分
若存在由
得
,
從而有,與
矛盾,所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一.
……10分
證法三:(利用對偶式)設(shè),
,
則.又
,也即
,所以
,也即
,又因為
,所以
.即
………10分
證法四:(數(shù)學歸納法)①當時,
,命題成立;
②假設(shè)時,命題成立,即
,
則當時,
即
即
故當時,命題成立.
綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
若下列方程:,
,
,至少有一個方程有實根,試求實數(shù)
的取值范圍.
解:設(shè)三個方程均無實根,則有
解得,即
.
所以當或
時,三個方程至少有一個方程有實根.
【答案】
【解析】因為,
,
,所以圓的半徑為3,所以PO=5,連接OC,在三角形POC中,
,即
,所以
。
已知函數(shù),
.
(1)設(shè)是函數(shù)
的一個零點,求
的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【解析】第一問利用題設(shè)知.因為
是函數(shù)
的一個零點,所以
即
(
所以
第二問
當,即
(
)時,
函數(shù)是增函數(shù),
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
(
)
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