已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。

第二問中，利用存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設(shè)，則.

設(shè)，則，因為，有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)。又

故存在，使得.

當(dāng)時，有，當(dāng)時，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又[來源:]

所以當(dāng)時，恒有；當(dāng)時，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

 

如圖，，，…，，…是曲線上的點，，，…，，…是軸正半軸上的點，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點）．

（1）寫出、和之間的等量關(guān)系，以及、和之間的等量關(guān)系；

（2）求證：（）；

（3）設(shè)，對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問利用有，得到

第二問證明：①當(dāng)時，可求得，命題成立；②假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即有則當(dāng)時，由歸納假設(shè)及，

得

第三問 

．………………………2分

因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當(dāng)時，可求得，命題成立； ……………2分

②假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即有，……………………1分

則當(dāng)時，由歸納假設(shè)及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當(dāng)時，命題成立．  …………………………………………4分

綜上所述，對所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，最大為，即

．……………2分

由題意，有． 所以，