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題目列表(包括答案和解析)

有時(shí)可用函數(shù)f(x)=描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度,其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N+),f(x)表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度,正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān).

(1)證明:當(dāng)x≥7時(shí),掌握程度的增加量f(x+1)-f(x)總是下降;

(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn),學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121],(121,127],(127,133].當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí),掌握程度是85%,請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科.

分析:根據(jù)已知條件作差,結(jié)合綜合法可以確定作差所得的函數(shù)為減函數(shù),從而得出結(jié)論;又根據(jù)函數(shù)模型代入數(shù)據(jù)可以解得參數(shù)a的近似值,通過對(duì)近似值所在區(qū)間加以判斷并選擇相應(yīng)的學(xué)科.

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通過計(jì)算可得下列等式:22-12=2×1+1,32-22=2×2+1,42-32=2×3+1,┅┅,(n+1)2-n2=2×n+1
將以上各式分別相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n,即:1+2+3+…+n=
n(n+1)2

類比上述求法:請(qǐng)你求出12+22+32+…+n2的值(要求必須有運(yùn)算推理過程).

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小明參加一次智力問答比賽,比賽共設(shè)三關(guān).第一、二關(guān)各有兩個(gè)問題,兩個(gè)問題全答對(duì),可進(jìn)入下一關(guān).第三關(guān)有三個(gè)問題,只要答對(duì)其中兩個(gè)問題,則闖關(guān)成功.每過一關(guān)可一次性獲得價(jià)值分別為100、300、500元的獎(jiǎng)勵(lì).小明對(duì)三關(guān)中每個(gè)問題回答正確的概率依次為
4
5
、
3
4
、
2
3
,且每個(gè)問題回答正確與否相互獨(dú)立.
(1)求小明過第一關(guān)但未過第二關(guān)的概率;
(2)用ξ表示小明所獲得獎(jiǎng)品的價(jià)值,求ξ的分布列和期望.

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小王參加一次比賽,比賽共設(shè)三關(guān),第一、二關(guān)各有兩個(gè)必答題,如果每關(guān)兩個(gè)問題都答對(duì),可進(jìn)入下一關(guān),第三關(guān)有三個(gè)問題,只要答對(duì)其中兩個(gè)問題,則闖關(guān)成功.每過一關(guān)可一次性獲得價(jià)值分別為1000元,3000元,6000元的獎(jiǎng)品(不重復(fù)得獎(jiǎng)),小王對(duì)三關(guān)中每個(gè)問題回答正確的概率依次為
4
5
3
4
,
2
3
,且每個(gè)問題回答正確與否相互獨(dú)立.
(1)求小王過第一關(guān)但未過第二關(guān)的概率;
(2)用X表示小王所獲得獎(jiǎng)品的價(jià)值,寫出X的概率分布列,并求X的數(shù)學(xué)期望.

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通過計(jì)算可得下列等式:
22-12=2×1+1;
32-22=2×2+1;
42-32=2×3+1;
…;
(n+1)2-n2=2n+1
將以上各式相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n
所以可得:1+2+3+…+n=
n(n+1)
2

類比上述求法:請(qǐng)你求出13+23+33+…+n3的值.(提示:12+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6

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