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題目列表(包括答案和解析)

由原點(diǎn)O向曲線f(x)=x³-3ax²+x(a≠0)引切線,切點(diǎn)P₁(x₁,y₁)異于O,再由點(diǎn)P₁引此曲線的切線,切點(diǎn)P₂(x₂,y₂)異于P₁,如此繼續(xù)下去,得到點(diǎn)列{P_n(x_n,y_n)}.

(1)求x₁;

(2)求證:數(shù)列{x_n-a}為等比數(shù)列;

(3)令b_n=n|x_n-a|,T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和,若T_n＞2對n∈N^*恒成立,求a的取值范圍.

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A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
（1）對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常數(shù)L（0＜L＜0），使得對任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|?（2x₁）-?（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）設(shè)φ（x）=

3	1+x

，x∈[2，4]，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設(shè)φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么這樣的x₀是唯一的；
（Ⅲ）設(shè)φ（x）∈A，任取x_n∈（1，2），令x_n+1=φ（2_nx），n=1，2，…，證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，不等式|xk+p-xk|≤

Lk-1

1-L

|x2-x1|成立．

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A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
①對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
②存在常數(shù)L（0＜L＜1），使得對任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，
（Ⅰ）設(shè)

，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設(shè)φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么這樣的x₀是唯一的；
（Ⅲ）設(shè)φ（x）∈A，任取x₁∈（1，2），令x_n+1=φ（2x_n），n=1，2，…，證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，成立不等式

。