如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=

6

．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O點到平面ACD的距離．

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如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的大��；
（3）求二面角O-AC-D的大�。�

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如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=

6

．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值．

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如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，
AB=2，AC=

6

．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（II）求二面角A-BC-D的大��；
（III）求O點到平面ACD的距離．

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1-5  ACADC。 6-10   ACABB    11-12 DA

13. 28    14.      15. －4n+5 ；       16. ①③④

17.（1），，即，

       ，，， ，

       ，∴.                                  5分

18.解法一：證明：連結(jié)OC,

∴．   ----------------------------------------------------------------------------------1分

,，

       ∴ ．                ------------------------------------------------------2分

在中，     

∴即   ------------------3分

面．  ----------------------------4分

       （II）過O作，連結(jié)AE，

       ,

∴AE在平面BCD上的射影為OE．

∴．

∴ ．  -----------------------------------------7分

在中，,,，   

       ∴．

       ∴二面角A-BC-D的大小為．   ---------------------------------------------------8分

       （III）解：設(shè)點O到平面ACD的距離為

，

 ∴．

在中， ，

             ．

而，∴．

         ∴點O到平面ACD的距離為．--------------------------------12分

        解法二：（I）同解法一．

       （II）解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則     

       ，

∴．  ------------6分

設(shè)平面ABC的法向量，

，，

由．

設(shè)與夾角為，則．

∴二面角A-BC-D的大小為． --------------------8分

       （III）解：設(shè)平面ACD的法向量為，又，

       ．   -----------------------------------11分

設(shè)與夾角為，

   則     -       設(shè)O 到平面ACD的距離為h，

∵，∴O到平面ACD的距離為．  ---------------------12分

19.（Ⅰ）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件，“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件．由于事件相互獨立，且，．

故取出的4個球均為黑球的概率為．…….6分

（Ⅱ）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件，“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件．由于事件互斥，

且，．

故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為．..12分

20. 解：（Ⅰ）由已知，當(dāng)時，   ……………… 2分

由，得，∴p＝…………….4分

∴.……………… 6分

（Ⅱ）由（1）得，.       ……………… 7分

2  ；              ①

.    ②  ………9分

②－①得，

＝＝.       ………………12分

21.解（I）

（II）

若時，是減函數(shù)，則恒成立，得

22．解（I）設(shè)

(3分)

 （Ⅱ）（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為

       …………(4分)

  （2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

       設(shè)，

      ，得

       …………(6分)

…………………8分

                                      ………………….9分

注意也可用．．．．．．．．．．１２分