21．已知:如下圖△ABC中.AB=AC.∠C=30°.AB⊥AD.AD=4cm.求BC的長(zhǎng). 【查看更多】

（1）如下圖，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，則 ∠APB=（）。
分析：由于PA，PB不在一個(gè)三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌（）這樣，就可以利用全等三角形知識(shí)，將三條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中從而求出∠APB的度數(shù)。
（2）請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題：已知如右圖，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF=45°，求證：EF²=BE²+FC²。

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如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于點(diǎn)O，點(diǎn)P，D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：△BPO≌△PDE．

（1）小明冥思苦想許久而不得解，只好去問(wèn)老師．老師給他分析了如下的思路．

根據(jù)上述思路，小明終于會(huì)證明了．請(qǐng)你完整地書寫本題的證明過(guò)程．
（2）證明完后，老師又提出了如下問(wèn)題讓小明解答：若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．

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觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，過(guò)A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則sinB=

AD

c

，sinC=

AD

b

，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即

b

sinB

=

c

sinC

，同理有：

c

sinC

=

a

sinA

，

a

sinA

=

b

sinB

，
所以

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

．
即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素．
根據(jù)上述材料，完成下列各題．

（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=

60°

；AC=

20

6

20

6

；
（2）自從去年日本政府自主自導(dǎo)“釣魚島國(guó)有化”鬧劇以來(lái)，我國(guó)政府靈活應(yīng)對(duì)，現(xiàn)如今已對(duì)釣魚島執(zhí)行常態(tài)化巡邏．某次巡邏中，如圖（3），我漁政204船在C處測(cè)得A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得釣魚島A在的北偏西75°的方向上，求此時(shí)漁政204船距釣魚島A的距離AB．（結(jié)果精確到0.01，

6

≈2.449）

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（本題10分）在一堂數(shù)學(xué)課中，數(shù)學(xué)老師給出了如下問(wèn)題“已知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D．求證：CB=CD”．文文和彬彬都想到了利用輔助線把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決．

1.（1）文文同學(xué)證明過(guò)程如下：連結(jié)AC（如圖②）

∵∠B=∠D ，AB=AD，AC=AC

∴△ABC≌△ADC，∴CB=CD

你認(rèn)為文文的證法是的.（在橫線上填寫“正確”或“錯(cuò)誤”）

2.（2）彬彬同學(xué)的輔助線作法是“連結(jié)BD”（如圖③），請(qǐng)完成彬彬同學(xué)的證明過(guò)程．

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（本題10分）在一堂數(shù)學(xué)課中，數(shù)學(xué)老師給出了如下問(wèn)題“已知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D．求證：CB=CD”．文文和彬彬都想到了利用輔助線把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決．