例3．設雙曲線的中心是坐標原點,準線平行于x軸,離心率為,已知點P(0,5)到該雙曲線上的點的最近距離是2,求雙曲線方程.分析及解:由題意可設雙曲線方程為,∵,∴a=2b,因此所求雙曲線方程可寫成: (1),故只需求出a可求解.設雙曲線上點Q的坐標為(x,y),則|PQ|= 在雙曲線上,∴得|PQ|= (3),此時|PQ|2表示為變量y的二次函數(shù),利用配方法求出其最小值即可求解.由.二次曲線的對稱軸為y=4,而函數(shù)的定義域y≥a或y≤-a,因此,需對a≤4與a>4分類討論.可知函數(shù)在y=4處取得最小值,∴令,得a2=4∴所求雙曲線方程為.可知函數(shù)在y=a處取得最小值,∴令,得a2=49,∴所求雙曲線方程為.注:此題是利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程的,其中利用配方法求解二次函數(shù)的最值問題,由于二次函數(shù)的定義域與參數(shù)a有關,因此需對字母a的取值分類討論,從而得到兩個解,同學們在解答數(shù)習題時應學會綜合運用數(shù)學思想方法解題. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，且過雙曲線的頂點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）命題：“設、是雙曲線上關于它的中心對稱的任意兩點， 為該雙曲線上的動點，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值”．試類比上述命題，寫出一個關于橢圓的類似的正確命題，并加以證明和求出此定值；

（3）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于方程（，不同時為負數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）.

 

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已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，且過雙曲線的頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）命題：“設、是雙曲線上關于它的中心對稱的任意兩點， 為該雙曲線上的動點，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值”．試類比上述命題，寫出一個關于橢圓的類似的正確命題，并加以證明和求出此定值；
（3）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于方程（，不同時為負數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）.

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已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，且過雙曲線的頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）命題：“設、是雙曲線上關于它的中心對稱的任意兩點， 為該雙曲線上的動點，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值”．試類比上述命題，寫出一個關于橢圓的類似的正確命題，并加以證明和求出此定值；
（3）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于方程（，不同時為負數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）.

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已知雙曲線E：的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點P，使得對圓C上任意的點G有？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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已知雙曲線E：的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點P，使得對圓C上任意的點G有？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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