2、江蘇省阜中2008屆高三第三次調(diào)研考試試題

已知O為坐標原點, 集合,且　　　　　 .46

3. 已知,,,。

　 (1)求；

　 (2)設(shè)∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝ ，，求sinx

解：(1)由已知

　 ∴

　 ∵　 ∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC²=BD²+CD²,　　　

　　 又CD²=AC²－AD², 所以BC²=BD²+AC²－AD²=49，　　　　 ……4分

所以　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

(2)在△ABC中，　　 ∴　　　　　　　 ……8分

　　 而　　 如果，

則　　 ∴　　　　　 ……10分

點評：對于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會技巧性應(yīng)用，解決好實際問題.

題型3：向量的模

例5．(1)已知向量與的夾角為，則等于(　 )

　 A．5　　B．4　　C．3　　D．1

(2)(2009遼寧卷文)平面向量a與b的夾角為，a＝(2,0), | b |＝1，則 | a+2b |等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.　　 　 　　　 　　　 　　B.2　 　　　 　　　　C.4　　　　 　　　　 　D.12

解析　 由已知|a|＝2,|a+2b|²＝a²+4a·b+4b²＝4+4×2×1×cos60°+4＝12

∴

解析：(1)B；(2)B

點評：掌握向量數(shù)量積的逆運算，以及。

例6．已知＝(3，4)，＝(4，3)，求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。

解析：由＝(3，4)，＝(4，3)，有x+y=(3x+4y,4x+3y)；

又(x+y)⊥(x+y)·＝03(3x+4y)+4(4x+3y)=0；

即25x+24y＝0　　　　　　　　　　　 ①；

又｜x+y｜=1｜x+y｜²＝1；

(3x+4y)²+(4x+3y)²＝1；

整理得25x²+48xy+25y²＝1即x(25x+24y)+24xy+25y²＝1　　 ②；

由①②有24xy+25y²＝1　　　　　　　 ③；

將①變形代入③可得：y=±；

再代回①得：。

點評：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。

題型4：向量垂直、平行的判定

例7．已知向量，，且，則　　　 。

解析：∵，∴，∴，∴。

例8．已知，，，按下列條件求實數(shù)的值。(1)；(2)；。

解析：

(1)；

(2)；

。

點評：此例展示了向量在坐標形式下的平行、垂直、模的基本運算.

題型5：平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用

例9．已知。

　　 分析：，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。

　　 證明：設(shè)

　　 則。

點評：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如等。

例10．已知，其中。

　　 (1)求證：與互相垂直；

　　 (2)若與()的長度相等，求。

解析：(1)因為

　　 所以與互相垂直。

　　 (2)，

　　 ，

　　 所以，

　　 ，

　　 因為，

　　 所以，

　　 有，

　　 因為，故，

　　 又因為，

所以。

點評：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進行處理。可使解題過程得到簡化，從而提高解題的速度。

題型6：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用

例12．用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上任一點(不與A、B重合)，求證：∠APB＝90°。

證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量，則且，

，即∠APB＝90°。

點評：平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。

題型7：平面向量在物理中的應(yīng)用

例13．如圖所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力、作用于同一點P，求五個力的合力.

解析：所求五個力的合力為，如圖3所示，以PA、PE為邊作平行四邊形PAOE，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且O點在PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且F點在PC的延長線上。

由正六邊形的性質(zhì)還可求得

故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為，方向與的方向相同。

課后訓(xùn)練：

(2009北京卷理)已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么 (　 )

　 A．且c與d同向　　　　　　　　　　　 B．且c與d反向

　　 C．且c與d同向　　　　　　　　　　 D．且c與d反向

答案　 D

解析　 本題主要考查向量的共線(平行)、向量的加減法. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考

查.

　 取a，b，若，則cab，dab，

　 顯然，a與b不平行，排除A、B.

　 若，則cab，dab，

即cd且c與d反向，排除C，故選D.

題型1：數(shù)量積的概念

例1．判斷下列各命題正確與否：

(1)；

(2)；

(3)若，則；

(4)若，則當且僅當時成立；

(5)對任意向量都成立；

(6)對任意向量，有。

解析：(1)錯；(2)對；(3)錯；(4)錯；(5)錯；(6)對。

點評：通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點清楚為零向量，而為零.

例2．　 已知△中，過重心的直線交邊于，交邊于，設(shè)△的面積為，△的面積為，，，則(ⅰ) (ⅱ)的取值范圍是　　　　　　　 .

[解析]設(shè)，，，，因為是△的重心，故

，又，，因為與共線，所以，即，又與不共線，所以及，消去，得.

(ⅰ)，故；

(ⅱ)，那么

，當與重合時，，當位于中點時，

，故，故但因為與不能重合，故

(2)設(shè)、、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則

①(·)－(·)=　 ②||－||<|－|　 ③(·)－(·)不與垂直

④(3+2)(3－2)=9||²－4||²中，是真命題的有(　　 )

A.①②　 　　　　　　　　　 B.②③　 　　　　　　　　　　 C.③④　 　　　　　　　　　　 D.②④

解析：(1)答案：D；因為，而；而方向與方向不一定同向.

(2)答案：D①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故①假；②由向量的減法運算可知||、||、|－|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；③因為［(·)－(·)］·=(·)·－(·)·=0，所以垂直.故③假；④(3+2)(3－2)=9··－4·=9||²－4||²成立。故④真。

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運算律，向量的數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律。

題型2：向量的夾角

例3．(1)過△ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點D、E．若，，，則的值為(　　 )

(A)4　　 (B)3　 (C)2　　 (D)1

解析：取△ABC為正三角形易得＝3．選B．

評析：本題考查向量的有關(guān)知識，如果按常規(guī)方法就比較難處理，但是用特殊值的思想就比較容易處理，考查學(xué)生靈活處理問題的能力．

(2)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是　　　　　　　　　　　 。

(3)已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。

(4)| |=1，| 　|=2，= + ，且⊥，則向量與的夾角為　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

解析：(2)；

(3)由題意，，且與的夾角為，

所以，，

，

，

同理可得。

而，

設(shè)為與的夾角，

則。

(4)C；設(shè)所求兩向量的夾角為

　　　 　即：

所以

點評：解決向量的夾角問題時要借助于公式，要掌握向量坐標形式的運算。向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。對于這個公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直(平行)的充要條件必需掌握.

例4．(1)設(shè)平面向量、、的和。如果向量、、，滿足，且順時針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則(　　 )

A．－++=　　　　　　　　　　 B．-+=

C．+-=　　　　　　　　　　　 D．++=

(2)(2009廣東卷理)已知向量與互相垂直，其中．

(1)求和的值；

(2)若，求的值．　　　　　　

解　 (1)∵與互相垂直，則，即，代入得，又，

∴.

(2)∵，，∴，

則，

2、(山東臨沂2009年模擬)如圖，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,記。

(1)　　　 求關(guān)于θ的表達式;

(2)　　　 求的值域。

解：(1)由正弦定理，得

(2)由，得

∴，即的值域為_.

2．向量的應(yīng)用

(1)向量在幾何中的應(yīng)用；

(2)向量在物理中的應(yīng)用。

1．向量的數(shù)量積

(1)兩個非零向量的夾角

已知非零向量a與a，作＝，＝，則∠AOA＝θ(0≤θ≤π)叫與的夾角；

說明：(1)當θ＝0時，與同向；

(2)當θ＝π時，與反向；

(3)當θ＝時，與垂直，記⊥；

(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0°≤q≤180°。

(2)數(shù)量積的概念

已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)。規(guī)定；

向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；

(3)數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積.

(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)

①向量的模與平方的關(guān)系：。

②乘法公式成立

；

；

③平面向量數(shù)量積的運算律

交換律成立：；

對實數(shù)的結(jié)合律成立：；

分配律成立：。

④向量的夾角：cos==。

當且僅當兩個非零向量與同方向時，θ=0⁰，當且僅當與反方向時θ=180⁰，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題.

(5)兩個向量的數(shù)量積的坐標運算

已知兩個向量，則·=。

(6)垂直：如果與的夾角為90⁰則稱與垂直，記作⊥。

兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。

(7)平面內(nèi)兩點間的距離公式

設(shè)，則或。

如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式) .

本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重點體會向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題難度不大，分值5~9分。

平面向量的綜合問題是“新熱點”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主.

預(yù)測2010年高考：

(1)一道選擇題和填空題，重點考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目.

(2)一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運算和性質(zhì)；

2．向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。

1．平面向量的數(shù)量積

①通過物理中"功"等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；

②體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

③掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；

④能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。

32.(3分)世界衛(wèi)生組織已把鋁列為食品污染源之一，規(guī)定每人每天的攝入量控制在0.004g以下。若在1 kg的米面食品中加入2 g明礬(明礬的化學(xué)式：KAl(SO₄)₂·12H₂O)，那么某人一天如果吃了100 g上述米面食品，通過計算說明他攝入的鋁的量是否在安全范圍之內(nèi)。

31.(3分)實驗室用回收的60 g 10%的稀硫酸和98%的濃硫酸(密度：1.84g·cm^－3)配制30%的硫酸溶液，需取濃硫酸多少毫升？可配得30%的硫酸多少克？