用韋達(dá)定理解“含參二次方程的實(shí)根分布”問題的基本方法
2.若方程-(k+2)x+4=0有兩負(fù)根,求k的取值范圍.
提示:由.
1.關(guān)于x的方程m+(2m+1)x+m=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,則m的取值范圍是:
A.(-, +);B.(-,-);C.[-,+];D.(-,0)∪(0,+).
提示:由m0且>0,得m<-,∴選D.
例1 當(dāng)m取什么實(shí)數(shù)時(shí),方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分別有:
①兩個(gè)實(shí)根; ②一正根和一負(fù)根;
③正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值;④兩根都大于1.
解 :設(shè)方程4+(m-2)x+(m-5)=0的兩根為、
①若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有兩個(gè)正根,則需滿足:
m∈φ.
∴此時(shí)m的取值范圍是φ,即原方程不可能有兩個(gè)正根.
②若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一負(fù)根,則需滿足:
m<5.
∴此時(shí)m的取值范圍是(-,5).
③若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值,則需滿足:
m<2.
∴此時(shí)m的取值范圍是(-,2).
④錯(cuò)解:若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的兩根都大于1,則需滿足:
m∈(,6)
∴此時(shí)m的取值范圍是(,6),即原方程不可能兩根都大于1.
正解:若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的兩根都大于1,則需滿足:
m∈φ.
∴此時(shí)m的取值范圍是φ,即原方程不可能兩根都大于1.
說明:解這類題要充分利用判別式和韋達(dá)定理.
例2.已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解:要原方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根,必須:
.
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|-2<k<-1或<k<1}.
韋達(dá)定理:
方程()的二實(shí)根為、,則
21.(本小題滿分13分)
已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)求的單調(diào)區(qū)間,若有最值,請(qǐng)求出最值;
(2)是否存在正常數(shù),使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且在該公共點(diǎn)處有共同的切線?若存在,求出的值,以及公共點(diǎn)坐標(biāo)和公切線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由。
21.(本小題滿分13分)
已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,且橢圓E上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4;是過點(diǎn)P(0,2)且互相垂直的兩條直線,交E于A,B兩點(diǎn),交E交C,D兩點(diǎn),AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N。
(1)求橢圓E的方程;
(2)求k的取值范圍;
(3)求的取值范圍。
19.(本小題滿分13分)
在數(shù)列。
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和。
18.(本小題滿分12分)
在如圖所示的空間幾何體中,平面平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角為60°,且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在的平分線上。
(1)求證:DE//平面ABC;
(2)求二面角E-BC-A的余弦;
(3)求多面體ABCDE的體積。
17.(本小題滿分12分)
甲乙兩個(gè)盒子里各放有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)大小形狀完全相同的小球,從甲盒中任取一小球,記下號(hào)碼后放入乙盒,再從乙盒中任取一小球,記下號(hào)碼,設(shè)隨機(jī)變量
(1)求的概率;
(2)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望。
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