Question

將△ABC的每一邊4等分，過各分點(diǎn)作邊的平行線，在所得下圖中有多少個(gè)平行四邊形？

Answer 1

分析：將平行四邊形分為三類：①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方．就①類而言：由兩個(gè)三角形組成的平行四邊形是6個(gè)，由4個(gè)三角形組成的是3個(gè)；與其對(duì)稱的3個(gè)，由6個(gè)三角形組成的是1個(gè)，與其對(duì)稱的1個(gè)，由8個(gè)三角形組成的是1個(gè)．共15個(gè)．同理第②、第③類也分別是15個(gè)，由此解答．

解答：解：將平行四邊形分為三類：①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方．
①尖角在上、下方的平行四邊形有：6+3+3+1+1+1=15（個(gè)）；
同理，第②、③類也分別含15個(gè)，
故上述三類平行四邊形共有：15×3=45（個(gè)）．
答：圖中一共有45個(gè)平行四邊形．
[注]這樣數(shù)平行四邊行，很麻煩，又易出錯(cuò)．我們?cè)噲D找到一種對(duì)應(yīng)關(guān)系：先考慮任一邊不與BC平行的平行四邊形，延長各邊必與BC有4個(gè)交點(diǎn)，特殊情況下，第二個(gè)交點(diǎn)與第三個(gè)交點(diǎn)重合；反過來，BC上的任意四點(diǎn)或三點(diǎn)決定一個(gè)平行四邊形，也就是說，邊不與BC平行的平行四邊形的個(gè)數(shù)與BC上的四交點(diǎn)組和三交點(diǎn)組的數(shù)目一樣多．
由于BC上有5個(gè)交點(diǎn)，其中可構(gòu)成5個(gè)4點(diǎn)組；10個(gè)3點(diǎn)組，即邊不平行于BC的平行四邊形有15個(gè)．
同理分別考慮邊不平行AB、CD的平行四邊行．
由此可知，共有45個(gè)平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：出題的解答首先進(jìn)行分類，然后按照一定順序分類求出這三類中各有多少個(gè)平行四邊形，由此解答即可．