Question

【題目】在9×9棋盤的每格中都有一只甲蟲，根據(jù)信號它們同時沿著對角線各自爬到與原來所在格恰有一個公共頂點的鄰格中，這樣某些格中有若干只甲蟲，而另一些格則空著．問空格數(shù)最少是多少?

Answer 1

【答案】9個

【解析】方法一：考慮到甲蟲總是斜著爬，我們把棋盤黑白相間染色，發(fā)現(xiàn)原來黑色格子里的甲蟲都會爬到黑色的格子里面，而白色格子里面的甲蟲都會爬到白色格子里面，所以我們只用觀察最少能空出多少個黑格子，多少個白格子．

因為甲蟲每次都從奇數(shù)行爬到偶數(shù)行，偶數(shù)行爬到奇數(shù)行，而由奇數(shù)行有25個黑格子，偶數(shù)行有16個黑格子知，偶數(shù)行的16只甲蟲爬到奇數(shù)行會空出9個黑格子，而奇數(shù)行的25只蟲子爬到偶數(shù)行就可以沒有空格．白格子蟲子也會從奇數(shù)行爬到偶數(shù)行，偶數(shù)行爬到奇數(shù)行，但是奇數(shù)行和偶數(shù)行都是20個格子，最少的情況下不會出現(xiàn)空格子，所以最少出現(xiàn)9個空格．

方法二：

①對2×2棋盤如下黑白染色，則易知兩黑格及兩白格分別對換甲蟲即可使棋盤格不空；從而得到2n×2n棋盤可劃分為若干塊2×2棋盤，棋盤格均不空．

②對3×3棋盤如下黑白染色，注意到圖中有5個黑格，黑格中的甲蟲爬行后必進入黑格，且四個角上的黑格內(nèi)的甲蟲必爬人中心黑格，而中心黑格內(nèi)的甲蟲只能爬人某一格，必至少空3個黑格．

③對5×5棋盤黑白染色后，利用①、②的結(jié)論易知至少空5個黑格．

④依次類推，可知對9×9棋盤黑白染色后，至少空9個空格．下圖是甲蟲爬行的一種方法．