Question

【題目】在一張長(zhǎng)方形的桌面上放了n個(gè)一樣大小的圓形硬幣。這些硬幣中可能有一些不完全在桌面內(nèi)，也可能有一些彼此重疊；當(dāng)再多放一個(gè)硬幣而它的圓心在桌面內(nèi)時(shí)，新放的硬幣便必定與原先某些硬幣重疊。請(qǐng)證明整個(gè)桌面可以用4n個(gè)硬幣完全覆蓋。

Answer 1

【答案】要想讓新放的硬幣不與原先的硬幣重疊，兩個(gè)硬幣的圓心距必須大于直徑。也就是說，對(duì)于桌面上任意一點(diǎn)，到最近的圓心的距離都小于2，所以，整個(gè)桌面可以用n個(gè)半徑為2的硬幣覆蓋。

把桌面和硬幣的尺度都縮小一倍，那么，長(zhǎng)、寬各是原桌面一半的小桌面，就可以用n個(gè)半徑為1的硬幣覆蓋。那么，把原來的桌子分割成相等的4塊小桌子，那么每塊小桌子都可以用n個(gè)半徑為1的硬幣覆蓋，因此，整個(gè)桌面就可以用4n個(gè)半徑為1的硬幣覆蓋。

【解析】要想讓新放的硬幣不與原先的硬幣重疊，兩個(gè)硬幣的圓心距必須大于直徑。也就是說，對(duì)于桌面上任意一點(diǎn)，到最近的圓心的距離都小于2，所以，整個(gè)桌面可以用n個(gè)半徑為2的硬幣覆蓋。

把桌面和硬幣的尺度都縮小一倍，那么，長(zhǎng)、寬各是原桌面一半的小桌面，就可以用n個(gè)半徑為1的硬幣覆蓋。那么，把原來的桌子分割成相等的4塊小桌子，那么每塊小桌子都可以用n個(gè)半徑為1的硬幣覆蓋，因此，整個(gè)桌面就可以用4n個(gè)半徑為1的硬幣覆蓋。